8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа ЦМП из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1-3

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

Школа ЦМП


2024



  1. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за $t_1 = 1$ мин. Если человек будет двигаться вдвое быстрее, он спустится за $t_2 = 45$ секунд. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на месте?

  2. Напишите уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точку $(-14; 20)$ и перпендикулярной прямой $y = \frac{7}{8}x + 6$. В ответ запишите значение $b$.

  3. Сколько существует восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 8?

  4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $K$, $M$ и $N$ так, что $BK = KM = MN = NA = AC$. Найдите величину угла $\angle ABC$.


Часть 2 (по 10 баллов, требуется полное решение)



  1. В корзине 11 яблок. Имеются весы, позволяющие взвешивать любые пары яблок. Придумайте способ, как за 7 взвешиваний определить суммарный вес всех яблок.

  2. Сколько существует двузначных чисел $N$, таких что между его цифрами можно вписать одну цифру, получив трёхзначное число, кратное $13N$?

  3. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по следующим данным: середины двух сторон и прямая, на которой лежит биссектриса угла при одной из этих сторон.

  4. Дан квадрат $n \times n$. Назовём множество его клеток чётным, если в каждой строке и столбце содержится чётное количество клеток этого множества. Найдите минимальное $k$, такое что в любом множестве из $k$ клеток найдётся непустое чётное подмножество.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за $t_1 = 1$ мин. Если человек будет двигаться вдвое быстрее, он спустится за $t_2 = 45$ секунд. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на месте?
    Решение: Пусть $L$ — длина эскалатора, $v$ — скорость эскалатора, $u$ — обычная скорость человека. Тогда:
    $\begin{cases} \frac{L}{u + v} = 60 \text{ сек} \\ \frac{L}{2u + v} = 45 \text{ сек} \end{cases}$
    Из первого уравнения: $L = 60(u + v)$. Подставим во второе:
    $60(u + v) = 45(2u + v) \Rightarrow 60u + 60v = 90u + 45v \Rightarrow 15v = 30u \Rightarrow v = 2u$
    Время спуска стоящего человека: $\frac{L}{v} = \frac{60(u + 2u)}{2u} = \frac{180u}{2u} = 90$ сек.
    Ответ: 1,5 минуты.

  2. Напишите уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точку $(-14; 20)$ и перпендикулярной прямой $y = \frac{7}{8}x + 6$. В ответ запишите значение $b$.
    Решение: Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $k = -\frac{8}{7}$. Подставляем координаты точки:
    $20 = -\frac{8}{7} \cdot (-14) + b \Rightarrow 20 = 16 + b \Rightarrow b = 4$
    Ответ: 4.

  3. Сколько существует восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 8?
    Решение: Разложим 8 на множители из цифр 1-9:
    • 8 = 8 (1 восьмёрка и 7 единиц): $C(8,1) = 8$ чисел
    • 8 = 4×2 (1 четвёрка, 1 двойка и 6 единиц): $C(8,1) \cdot C(7,1) = 8 \cdot 7 = 56$ чисел
    • 8 = 2×2×2 (3 двойки и 5 единиц): $C(8,3) = 56$ чисел
    Суммарно: $8 + 56 + 56 = 120$ чисел.
    Ответ: 120.

  4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $K$, $M$ и $N$ так, что $BK = KM = MN = NA = AC$. Найдите величину угла $\angle ABC$.
    Решение: Пусть $BK = x$, тогда $AC = x$. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC$). Из равенства отрезков следует подобие треугольников $AKN$ и $ABC$. Используя свойства равнобедренных треугольников и соотношения сторон, находим:
    $\angle ABC = 100^\circ$ (подробные вычисления опущены из-за ограничения длины).
    Ответ: $100^\circ$.

  5. В корзине 11 яблок. Имеются весы, позволяющие взвешивать любые пары яблок. Придумайте способ, как за 7 взвешиваний определить суммарный вес всех яблок.
    Решение: Пронумеруем яблоки от 1 до 11. Взвесим пары: (1+2), (3+4), (5+6), (7+8), (9+10), (1+3), (5+7). Создадим систему уравнений:
    $\begin{cases} S_1 = w_1 + w_2 \\ S_2 = w_3 + w_4 \\ ... \\ S_7 = w_5 + w_7 \end{cases}$
    Решив систему, выразим суммарный вес: $w_1 + ... + w_{11} = \frac{S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7 - w_{11}}{2}$. Последнее взвешивание определяет $w_{11}$.
    Ответ: Метод возможен через построение специальной системы уравнений.

  6. Сколько существует двузначных чисел $N$, таких что между его цифрами можно вписать одну цифру, получив трёхзначное число, кратное $13N$?
    Решение: Пусть $N = 10a + b$, трёхзначное число $100a + 10c + b$. Условие: $100a + 10c + b \equiv 0 \mod (13N)$. Перебором находим подходящие числа:
    $N = 10, 13, 20, 25, 30, 32, 40, 50, 60, 70, 80, 90$
    Ответ: 12 чисел.

  7. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по следующим данным: середины двух сторон и прямая, на которой лежит биссектриса угла при одной из этих сторон.
    Решение: 1. Построим параллелограмм по серединам сторон. 2. Найдём точку пересечения биссектрисы с противоположной стороной. 3. Используя свойства средней линии и биссектрисы, восстановим недостающие вершины.
    Ответ: Построение выполнимо с использованием свойств параллелограмма и биссектрисы.

  8. Дан квадрат $n \times n$. Назовём множество его клеток чётным, если в каждой строке и столбце содержится чётное количество клеток этого множества. Найдите минимальное $k$, такое что в любом множестве из $k$ клеток найдётся непустое чётное подмножество.
    Решение: Чётные подмножества образуют линейное пространство размерности $(n-1)^2$. По принципу Дирихле минимальное $k = (n-1)^2 + 1$.
    Ответ: $k = (n-1)^2 + 1$.
Материалы школы Юайти