8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа ЦМП из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

Школа ЦМП


2024



Важно! Раздел “Математика” поделен на 3 уровня сложности.
Поступающим на социально-гуманитарный профиль — задачи 1–10.
Поступающим на естественно-научный, математический, ИТ- и физический — задачи 6–15 (на 15 баллов в сумме).


  1. Вычислите: \[ \left(-1 \dfrac{2}{3} + 0{,}5\right) \times 2 \dfrac{4}{7} \]

  2. Вычислите: \[ 317 \div 315 \times 32 \]

  3. Решите уравнение: \[ (x + 1)^2 + x(2 + x) = 2x^2 - 1 \]

  4. Два тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла, если тупые углы равны.

  5. Внешний угол треугольника равен 140°, а два другие угла относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.

  6. Решите уравнение: \[ 50x^2 - 20x + 2 = 0 \]

  7. Найдите значение выражения: \[ \frac{(5x^2)^2 \cdot (y^4)^2 \cdot 280 \cdot y^5 \cdot x^{10}}{(10x^3)^3 \cdot (2y^5)^2 \cdot 7 \cdot y^3 \cdot x^5}, \quad \text{при } x = -\dfrac{3}{7},\ y = 0{,}145 \]

  8. Решите систему уравнений и найдите \( x + y \): \[ \begin{cases} 4x + 10y = -14 \\ -5x - 2y = -14 \end{cases} \]

  9. \( \dfrac{4}{7} \) одного из смежных углов и \( \dfrac{1}{4} \) другого составляют в сумме прямой угол. Найдите больший из этих углов.

  10. В библиотеке книги на английском, французском и немецком языках. Английские — 36% всех иностранных книг, французские — 75% английских, остальные 185 — немецкие. Сколько всего иностранных книг?

  11. Решите уравнение: \[ (x - 1)(5x - 1) + (4x + 5)(1 - x) = 0 \] В ответ запишите произведение корней.

  12. Вычислите: \[ \frac{194^2 + 12 \cdot 194 + 36 + 5^2 - 2 \cdot 5 + 1}{99^2 + 2 \cdot 99 + 1} \]

  13. Функция имеет вид \( y = kx + b \) и проходит через точки (1; 2) и (0; 4). Найдите \( y(10) \).

  14. В треугольнике \( ABC \) на сторонах \( AB \) и \( AC \) отмечены точки \( M \) и \( N \) соответственно. Известно, что \( \angle NMA = 50^\circ \), \( BC = MC = AM \), \( CN = NA \). Найдите величину угла \( BCA \).

  15. Высота и медиана из одной вершины треугольника делят угол при ней на три равные части. Найдите углы треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left(-1 \dfrac{2}{3} + 0{,}5\right) \times 2 \dfrac{4}{7} \] Решение: \[ -1 \dfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{3}, \quad 2 \dfrac{4}{7} = \dfrac{18}{7} \] \[ -\dfrac{5}{3} + 0{,}5 = -\dfrac{10}{6} + \dfrac{3}{6} = -\dfrac{7}{6} \] \[ -\dfrac{7}{6} \times \dfrac{18}{7} = -3 \] Ответ: \(-3\).

  2. Вычислите: \[ 317 \div 315 \times 32 \] Решение: \[ \dfrac{317 \times 32}{315} = \dfrac{10144}{315} = 32 \dfrac{64}{315} \] Ответ: \(32 \dfrac{64}{315}\).

  3. Решите уравнение: \[ (x + 1)^2 + x(2 + x) = 2x^2 - 1 \] Решение: \[ x^2 + 2x + 1 + 2x + x^2 = 2x^2 - 1 \] \[ 2x^2 + 4x + 1 = 2x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad 4x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -0{,}5 \] Ответ: \(-0{,}5\).

  4. Два тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла, если тупые углы равны.
    Решение: Сумма углов вокруг точки \(O\) равна \(360^\circ\). Пусть \(\angle AOB = \angle AOC = \alpha\), тогда: \[ 2\alpha + 90^\circ = 360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 135^\circ \] Ответ: \(135^\circ\).

  5. Внешний угол треугольника равен \(140^\circ\), а два другие угла относятся как \(3:4\). Найдите все внутренние углы треугольника.
    Решение: Внешний угол равен сумме двух внутренних: \[ 3k + 4k = 140^\circ \quad \Rightarrow \quad k = 20^\circ \] Углы: \(60^\circ\), \(80^\circ\), \(40^\circ\).
    Ответ: \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\).

  6. Решите уравнение: \[ 50x^2 - 20x + 2 = 0 \] Решение: \[ 25x^2 - 10x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 100 - 100 = 0 \] \[ x = \dfrac{10}{50} = 0{,}2 \] Ответ: \(0{,}2\).

  7. Найдите значение выражения: \[ \frac{(5x^2)^2 \cdot (y^4)^2 \cdot 280 \cdot y^5 \cdot x^{10}}{(10x^3)^3 \cdot (2y^5)^2 \cdot 7 \cdot y^3 \cdot x^5} \] Решение: Упрощение: \[ \dfrac{25x^4 \cdot y^8 \cdot 280 \cdot y^5 \cdot x^{10}}{1000x^9 \cdot 4y^{10} \cdot 7 \cdot y^3 \cdot x^5} = \dfrac{25 \cdot 280}{1000 \cdot 4 \cdot 7} = \dfrac{1}{4} \] Ответ: \(0{,}25\).

  8. Решите систему уравнений и найдите \( x + y \): \[ \begin{cases} 4x + 10y = -14 \\ -5x - 2y = -14 \end{cases} \] Решение: Умножим второе уравнение на 5: \[ -25x - 10y = -70 \] Сложим с первым: \[ -21x = -84 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] Подставим \(x = 4\): \[ 4 \cdot 4 + 10y = -14 \quad \Rightarrow \quad y = -3 \] Ответ: \(1\).

  9. \( \dfrac{4}{7} \) одного из смежных углов и \( \dfrac{1}{4} \) другого составляют в сумме прямой угол. Найдите больший из этих углов.
    Решение: Пусть углы \(\alpha\) и \(\beta\): \[ \dfrac{4}{7}\alpha + \dfrac{1}{4}\beta = 90^\circ, \quad \alpha + \beta = 180^\circ \] \[ \dfrac{4}{7}\alpha + \dfrac{1}{4}(180^\circ - \alpha) = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 140^\circ \] Ответ: \(140^\circ\).

  10. В библиотеке книги на английском, французском и немецком языках. Английские — 36% всех иностранных книг, французские — 75% английских, остальные 185 — немецкие. Сколько всего иностранных книг?
    Решение: Пусть всего книг \(N\): \[ 0{,}36N + 0{,}27N + 185 = N \quad \Rightarrow \quad N = 500 \] Ответ: \(500\).

  11. Решите уравнение: \[ (x - 1)(5x - 1) + (4x + 5)(1 - x) = 0 \] Решение: \[ 5x^2 - 6x + 1 - 4x^2 - x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 7x + 6 = 0 \] Корни: \(x = 6\), \(x = 1\). Произведение: \(6 \times 1 = 6\).
    Ответ: \(6\).

  12. Вычислите: \[ \frac{194^2 + 12 \cdot 194 + 36 + 5^2 - 2 \cdot 5 + 1}{99^2 + 2 \cdot 99 + 1} \] Решение: \[ \dfrac{(194 + 6)^2 + (5 - 1)^2}{(99 + 1)^2} = \dfrac{200^2 + 4^2}{100^2} = \dfrac{40016}{10000} = 4{,}0016 \] Ответ: \(4{,}0016\).

  13. Функция имеет вид \( y = kx + b \) и проходит через точки (1; 2) и (0; 4). Найдите \( y(10) \).
    Решение: \[ b = 4, \quad k = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 4 \] \[ y(10) = -16 \] Ответ: \(-16\).

  14. В треугольнике \( ABC \) на сторонах \( AB \) и \( AC \) отмечены точки \( M \) и \( N \) соответственно. Известно, что \( \angle NMA = 50^\circ \), \( BC = MC = AM \), \( CN = NA \). Найдите величину угла \( BCA \).
    Решение: Треугольник \(AMC\) равносторонний, \(\angle AMC = 60^\circ\). Угол \(NMA = 50^\circ\), тогда \(\angle BCA = 30^\circ\).
    Ответ: \(30^\circ\).

  15. Высота и медиана из одной вершины треугольника делят угол при ней на три равные части. Найдите углы треугольника.
    Решение: Пусть угол делится на \(3\alpha\). Используя свойства медианы и высоты, получаем углы \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\).
    Ответ: \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\).
Материалы школы Юайти