Школа ЦМП из 6 в 7 класс 2024 год вариант 1

Школа ЦМП

2024

1. Решите уравнение: \[ 3{,}7 \cdot |x| - 2{,}2 \cdot |x| = 22{,}5. \]
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \left( 25 - \frac{3}{7} \cdot 7 \right) + \left( \left( \frac{12}{23}{25} - \frac{4}{2}{5} \right) \cdot 25 \right) + 125 \cdot 357 \cdot 0{,}008. \]
   
   
3. Число \( A \) на 400% больше числа \( B \). На сколько процентов \( B \) меньше \( A \)?
   
   
4. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 20% всей книги и ещё 16 страниц, во второй день — 30% оставшегося и ещё 20 страниц, в третий — 75% оставшегося и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге?

Часть 2
(каждое задание — 10 баллов, требуется полное решение)

1. В корзине 11 яблок. Есть весы, которые показывают суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ, как за 7 взвешиваний узнать суммарный вес всех яблок.
   
   
2. Сумма двух натуральных чисел — 1498. Если у одного из них зачеркнуть цифру единиц, равную 2, получится второе число. Найдите все такие пары.
   
   
3. Страна Альфа-Центаврия имеет форму квадрата и поделена на регионы треугольной формы. Может ли так оказаться, что каждый регион имеет общую часть границы ровно с тремя другими регионами? *(Одна точка не считается общей частью границы.)*
   
   
4. В стране 50 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами. Известно: для любых трёх городов найдутся хотя бы две дороги между ними. Какое наименьшее число дорог может быть?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 3{,}7 \cdot |x| - 2{,}2 \cdot |x| = 22{,}5. \] Решение: \[ (3{,}7 - 2{,}2) \cdot |x| = 22{,}5 \quad \Rightarrow \quad 1{,}5 \cdot |x| = 22{,}5 \quad \Rightarrow \quad |x| = \frac{22{,}5}{1{,}5} = 15 \quad \Rightarrow \quad x = \pm15 \] Ответ: \( x = \pm15 \).
   
   
2. Найдите значение выражения: \[ \left( 25 - \frac{3}{7} \cdot 7 \right) + \left( \left( \frac{12}{25} \cdot 25 - \frac{4}{5} \cdot 5 \right) \cdot 25 \right) + 125 \cdot 357 \cdot 0{,}008. \] Решение: \[ 25 - 3 = 22 \] \[ \left(12 - 4\right) \cdot 25 = 8 \cdot 25 = 200 \] \[ 125 \cdot 0{,}008 = 1 \quad \Rightarrow \quad 357 \cdot 1 = 357 \] \[ 22 + 200 + 357 = 579 \] Примечание: В условии возможна опечатка. Указанный ответ 592 требует уточнения исходных данных.
   
   
3. Число \( A \) на 400% больше числа \( B \). На сколько процентов \( B \) меньше \( A \)? Решение: \[ A = B + 4B = 5B \quad \Rightarrow \quad \frac{A - B}{A} \cdot 100% = \frac{4B}{5B} \cdot 100% = 80\% \] Ответ: \( B \) меньше \( A \) на $80\%$.
   
   
4. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 20% всей книги и ещё 16 страниц, во второй день — 30% оставшегося и ещё 20 страниц, в третий — 75% оставшегося и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге? Решение: Пусть \( x \) — общее количество страниц. \begin{align} \text{После первого дня:} & \quad x - (0{,}2x + 16) = 0{,}8x - 16 \\ \text{После второго дня:} & \quad (0{,}8x - 16) - (0{,}3(0{,}8x - 16) + 20) = 0{,}56x - 31{,}2 \\ \text{После третьего дня:} & \quad 0{,}25(0{,}56x - 31{,}2) = 30 \quad \Rightarrow \quad 0{,}14x - 7{,}8 = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 270 \end{align} Ответ: 270 страниц.
   
   
5. В корзине 11 яблок. Есть весы, которые показывают суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ, как за 7 взвешиваний узнать суммарный вес всех яблок. Решение: Взвесить яблоки парами так, чтобы каждое яблоко участвовало ровно в двух взвешиваниях. Составить систему уравнений: \[ \begin{cases} a_1 + a_2 = w_1 \\ a_2 + a_3 = w_2 \\ \vdots \\ a_{10} + a_{11} = w_7 \end{cases} \] Сумма всех уравнений даст \( 2(a_1 + a_2 + \dots + a_{11}) = \sum w_i \), откуда общий вес \( \frac{1}{2}\sum w_i \).
   
   
6. Сумма двух натуральных чисел — 1498. Если у одного из них зачеркнуть цифру единиц, равную 2, получится второе число. Найдите все такие пары. Решение: Пусть большее число \( 10a + 2 \), меньшее \( a \). Тогда: \[ 10a + 2 + a = 1498 \quad \Rightarrow \quad 11a = 1496 \quad \Rightarrow \quad a = 136 \] Числа: 1362 и 136. Ответ: 1362 и 136.
   
   
7. Страна Альфа-Центаврия имеет форму квадрата и поделена на регионы треугольной формы. Может ли так оказаться, что каждый регион имеет общую часть границы ровно с тремя другими регионами? Решение: Да. Пример: разделить квадрат на 8 треугольников, соединив центр с вершинами и серединами сторон. Каждый треугольник граничит с тремя соседями.
   
   
8. В стране 50 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами. Известно: для любых трёх городов найдутся хотя бы две дороги между ними. Какое наименьшее число дорог может быть? Решение: Минимальный граф — дополнение к графу без треугольников с одним ребром. Каждый город соединен с 48 другими: \[ \frac{50 \cdot 48}{2} = 1200 \] Ответ: 1200 дорог.