8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа ЦМП из 10 в 11 класс 2024 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
youit.school ©

Школа ЦМП


2024



  1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{3}{26} + \frac{2}{39} \right) : \frac{5}{18} \]

  2. Решите квадратное уравнение. Если оно имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них: \[ x^2 - 2x + 1 = 16 \]

  3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC$ равна $2\sqrt{3}$, а угол $C = 60^\circ$. Найдите катет $AB$.

  4. В прошлом году литр бензина стоил 50 рублей, а в этом подорожал на 10\%. Сколько полных литров бензина в этом году можно купить на 2000 рублей?

  5. Дана четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основаниями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По какой прямой пересекаются плоскости $BCB_1$ и $A_1B_1C_1$? В ответ запишите номер верного варианта.

  6. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми 55 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля и встретились в 21 км от пункта $A$. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из $A$, если он ехал на 12 км/ч быстрее другого и сделал в пути остановку на 20 минут.

  7. Решите квадратное неравенство: \[ -5x^2 - 14x + 3 \ge 0 \] В ответе укажите верный вариант:

    1. $[-5; \frac{1}{3}]$
    2. $[-3; 0{,}2]$
    3. $(-\infty; -3) \cup \left[\frac{1}{5}; +\infty\right)$
    4. $\left(-\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup [5; +\infty)$


  8. Решите уравнение: \[ \cos 2x + \sin 2x = 0.75 \] Найдите все корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \right]$. В ответ запишите сумму этих корней, делённую на $\pi$.

  9. В треугольнике $ABC$ точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, а точка $N$ делит $AC$ в отношении $AN:NC = 1:4$. Выразите вектор $\vec{NM}$ через $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\vec{NM} = k \cdot \vec{AB} + m \cdot \vec{AC}$. В ответ запишите $k + m$.

  10. Найдите сумму наибольшего числа положительных членов арифметической прогрессии: \[ 5{,}9;\ 5{,}3;\ 4{,}7;\ \ldots \]

  11. Решите уравнение: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0 \] В ответ запишите сумму всех его корней.

  12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1, точка $M$ делит ребро $AA_1$ в отношении $2:3$ от вершины $A$, а точка $L$ делит ребро $BB_1$ в отношении $4:1$ от вершины $B$. Найдите тангенс угла между прямыми $ML$ и $DD_1$. В ответ запишите $\tan / \sqrt{2}$.

  13. Числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ — члены арифметической прогрессии, причём $a_1 + a_2 + a_3 = 10{,}5$. Также известно, что $a_1$, $a_2 + \frac{1}{2}$, $a_3 + a_1 + 1$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите целый знаменатель этой прогрессии (если такой существует).

  14. С помощью производной найдите точку максимума функции: \[ f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x^2 - 2x + 1}} \]

  15. Найдите значение параметра $a$, при котором система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 4x + 2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = a \end{cases} \] имеет единственное решение. Если таких значений несколько, укажите наименьшее.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{3}{26} + \frac{2}{39} \right) : \frac{5}{18} \] Решение: Приведём дроби к общему знаменателю 78: \[ \frac{3}{26} = \frac{9}{78}, \quad \frac{2}{39} = \frac{4}{78} \] \[ \frac{9}{78} + \frac{4}{78} = \frac{13}{78} = \frac{1}{6} \] Деление на дробь заменяем умножением: \[ \frac{1}{6} : \frac{5}{18} = \frac{1}{6} \cdot \frac{18}{5} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6.

  2. Решите квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x + 1 = 16 \] Решение: Приведём уравнение к виду квадрата разности: \[ (x - 1)^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x - 1 = \pm4 \] Корни уравнения: \[ x = 1 + 4 = 5, \quad x = 1 - 4 = -3 \] Меньший корень: $-3$. Ответ: $-3$.

  3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC = 2\sqrt{3}$, угол $C = 60^\circ$. Найдите катет $AB$. Решение: Угол $A = 30^\circ$, катет $AB$ лежит напротив угла $30^\circ$: \[ AB = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] Ответ: $\sqrt{3}$.

  4. Литр бензина подорожал на 10\%: \[ 50 \cdot 1,1 = 55 \text{ руб.} \] На 2000 рублей можно купить: \[ \frac{2000}{55} \approx 36,36 \quad \Rightarrow \quad 36 \text{ литров} \] Ответ: 36.

  5. Плоскости $BCB_1$ и $A_1B_1C_1$ пересекаются по прямой $B_1C_1$. Ответ: $B_1C_1$.

  6. Пусть скорость автомобиля из $A$ — $x$ км/ч, тогда скорость второго — $x - 12$ км/ч. Время до встречи: \[ \frac{21}{x} + \frac{1}{3} = \frac{34}{x - 12} \] Решая уравнение, получаем $x = 63$ км/ч. Ответ: 63.

  7. Решим неравенство: \[ -5x^2 -14x +3 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 +14x -3 \le 0 \] Корни уравнения $5x^2 +14x -3 =0$: \[ x = \frac{-14 \pm 16}{10} \quad \Rightarrow \quad x = 0,2; \quad x = -3 \] Решение неравенства: $[-3; 0,2]$. Ответ: 2.

  8. Уравнение $\cos 2x + \sin 2x = 0,75$. Введём вспомогательный угол: \[ \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 0,75 \] Корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$: \[ x_1 = \frac{\pi}{8}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{8}, \quad x_3 = \frac{9\pi}{8}, \quad x_4 = \frac{13\pi}{8} \] Сумма корней: $\frac{36\pi}{8} = 4,5\pi \quad \Rightarrow \quad \frac{4,5\pi}{\pi} = 4,5$. Ответ: 4,5.

  9. Вектор $\vec{NM} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{5}\vec{AC}$. Сумма коэффициентов: \[ k + m = -\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = -\frac{3}{10} \] Ответ: $-\frac{3}{10}$.

  10. Арифметическая прогрессия: $a_1 = 5,9$, $d = -0,6$. Найдём количество положительных членов: \[ 5,9 + (n-1)(-0,6) > 0 \quad \Rightarrow \quad n = 10 \] Сумма первых 10 членов: \[ S_{10} = \frac{2 \cdot 5,9 + 9 \cdot (-0,6)}{2} \cdot 10 = 16 \] Ответ: 16.

  11. Корни уравнения $x^3 -4x^2 -7x +10 =0$: $1$, $5$, $-2$. Сумма корней: \[ 1 + 5 + (-2) = 4 \] Ответ: 4.

  12. Координаты точек $M(0,0,\frac{2}{5})$, $L(0,1,\frac{4}{5})$. Вектор $\vec{ML} = (0,1,-\frac{1}{5})$. Тангенс угла с $DD_1$: \[ \tan \theta = \frac{\sqrt{0^2 +1^2}}{\frac{1}{5}} = 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{\sqrt{2}} \] Ответ: 5.

  13. Пусть $a_2 = 3,5$. Геометрическая прогрессия: $a_1$, $4$, $a_3 +a_1 +1$. Знаменатель $q = 2$. Ответ: 2.

  14. Функция $f(x) = \sqrt{\frac{x -2}{(x-1)^2}}$. Производная обращается в ноль при $x =3$. Ответ: 3.

  15. Система имеет единственное решение при $a =20$. Ответ: 20.
Материалы школы Юайти