Школа 179 из 7 в 8 класс 2021 год

1. Есть \(n\) гирь, имеющие веса \(1,2,\dots,n\). При каком наименьшем \(n\) их все можно разложить на 3 кучки одинакового веса так, чтобы количество гирь во всех кучках было разным?
2. Клетчатый квадрат \(7\times7\) разрезали на 7 частей равной площади. Все разрезы проходят по линиям сетки. Какова наименьшая суммарная длина разрезов?
3. Существует ли десятизначное число, все цифры которого различны, такое что если вычеркнуть из него любые шесть цифр, получится составное четырёхзначное число?
4. У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 99. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?

Решения задач

1. Наименьшее \(n\) равно 9. Сумма гирь \(S = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45\), каждая кучка должна весить \(15\). Пример разбиения: \(9+6\), \(8+7\), \(5+4+3+2+1\). Количество гирь в кучках: 2, 2, 5. Чтобы сделать количество разным, правильно подбирается комбинация: например, (9, 5, 1) — вес 15 (3 гири), (8, 7) — 15 (2 гири), (6, 4, 3, 2) — 15 (4 гири). Всего 3 вида количества: 2, 3, 4.
   Ответ: 9.
   
   
2. Минимальная суммарная длина разрезов — 28. Пример: разрезать квадрат на вертикальные полосы шириной 1 клетка (шесть вертикальных разрезов длиной 7 каждый, сумма \(6 \cdot 7 = 42\)). Более оптимально — комбинированные разрезы: горизонтальный разрез после 3-й строки (длина 7), вертикальные разрезы через каждые 2 клетки (три вертикальных разреза длиной 7) и дополнительные разрезы внутри компактных частей. Однако оптимальнее всего использовать Т-образные разрезы с общей длиной 28.
   Ответ: 28.
   
   
3. Нет, такое число невозможно. Среди десятизначных чисел найдутся комбинации, дающие простые четырёхзначные числа. Например, если исходное число содержит цифры 1,3,7,9, то при вычеркивании можно получить 1379, которое простое. Даже если использовать цифру 5 в конце, числа вида _ _ _ 5 делятся на 5, но при этом некоторые комбинации без 5 всё равно могут оказаться простыми (например, 1487).
   Ответ: Не существует.
   
   
4. Нет, такое преобразование невозможно. После каждого чесания разность между количеством вертикальных и горизонтальных складок на каждом боку изменяется на чётное число. Изначальная разность \(v_1 - h_1\) и \(v_2 - h_2\) должна смениться на \(h_1 - v_1\) и \(h_2 - v_2\), что меняет знак разности. Это требует нечётного изменения, но каждое действие изменяет разность на ±4 или 0 (при добавлении и удалении складок одного типа). Суммарно чётность сохраняется, поэтому переход невозможен.
   Ответ: Нет.