Школа 179 из 7 в 8 класс 2021 год

1. За лето вес бурого медведя увеличивается на 40%. При этом за зиму медведь теряет 40% веса. Вычислите, на сколько процентов изменится вес медведя за два года такой жизни. (Ответ можно округлить с точностью до одного процента.)
   
   
2. Приведите пример 10 несократимых обыкновенных дробей (т.е. чисел вида $\frac{m}{n}$ со знаменателем, не равным 1) таких, что произведение любых двух из них~— целое число.
   
   
3. Квадрат разделили четырьмя вертикальными и четырьмя горизонтальными прямыми на 25 прямоугольников. Их покрасили в шахматном порядке. Оказалось, что на одной из диагоналей стоят чёрные квадраты (возможно, разного размера). Докажите, что сумма площадей чёрных клеток больше либо равна сумме площадей белых клеток.
   
   
4. Можно ли переставить цифры в числе 666 666 222 222 222 чтобы получился квадрат натурального числа?
   
   
5. Деревянный куб распилили на две части, сделав один плоский распил. Оказалось, что распил имеет форму пятиугольника. Нарисуйте, как такое могло быть.

Решения задач

1. За лето вес бурого медведя увеличивается на 40%. При этом за зиму медведь теряет 40% веса. Вычислите, на сколько процентов изменится вес медведя за два года такой жизни. (Ответ можно округлить с точностью до одного процента.)
   Решение: Пусть начальный вес медведя равен $x$. После лета вес становится $1,4x$, после зимы вес уменьшается до $0,6 \cdot 1,4x = 0,84x$. За следующий год аналогично: после лета $1,4 \cdot 0,84x = 1,176x$, после зимы $0,6 \cdot 1,176x = 0,7056x$.
   Итоговый вес составляет $0,7056x$, что на $(1 - 0,7056) \cdot 100% \approx 29,44\%$ меньше исходного. Округляем до 29\%.
   Ответ: $\boxed{29\%}$.
2. Приведите пример 10 несократимых обыкновенных дробей (т.е. чисел вида $\frac{m}{n}$ со знаменателем, не равным 1) таких, что произведение любых двух из них~— целое число.
   Решение: Рассмотрим знаменатели — первые 10 простых чисел: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$. Для каждого $n_i$ определим числитель как произведение остальных простых чисел. Например:
   $\frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 29}{2};\, \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 29}{3};\, \ldots;\, \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 23}{29}$.
   При умножении двух таких дробей числители содержат все знаменатели, поэтому результат — целое число. Все дроби несократимы, так как числители не содержат множителей знаменателей.
   Ответ: $\boxed{\left\{\frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29}{2}, \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29}{3}, \ldots, \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23}{29}\right\}}$.
3. Квадрат разделили четырьмя вертикальными и четырёмя горизонтальными прямыми на 25 прямоугольников. Их покрасили в шахматном порядке. Оказалось, что на одной из диагоналей стоят чёрные квадраты (возможно, разного размера). Докажите, что сумма площадей чёрных клеток больше или равна сумме площадей белых клеток.
   Решение: Квадрат разбит на 5x5=25 прямоугольников. Чёрные и белые клетки чередуются. На диагонали все клетки чёрные. В каждой строке и столбце суммарно чёрных клеток $\geq$ белых (т.к. их количество отличается не более чем на 1). При суммировании по всем строкам сумма чёрных клеток всего квадрата $\geq$ суммы белых. На диагонали все клетки чёрные, поэтому их сумма $\geq$ половины площади квадрата.
   Ответ: Доказательство приведено.
4. Можно ли переставить цифры в числе 666 666 222 222 222 чтобы получился квадрат натурального числа?
   Решение: Число из 6 шестёрок и 9 двоек (всего 15 цифр). Квадрат натурального числа должен оканчиваться на 0,1,4,5,6,9, но цифры в числе только 2 и 6. Проверим возможность. Последние две цифры квадрата должны делиться на 4, но возможные окончания из 2 и 6: 22, 26, 62, 66. Ни одно из них не делится на 4 ($22 \mod 4 = 2$, $26 \mod 4 = 2$, $62 \mod 4 = 2$, $66 \mod 4 = 2$). Следовательно, невозможно.
   Ответ: $\boxed{\text{Нет}}$.
5. Деревянный куб распилили на две части, сделав один плоский распил. Оказалось, что распил имеет форму пятиугольника. Нарисуйте, как такое могло быть.
   Решение: Сечение пятиугольника образуется, если плоскость пересекает пять граней куба. Например, можно провести плоскость через вершину куба и пересечь пять рёбер, идущих из других вершин. Каждый отрезок пересечения плоскости с гранью куба — сторона пятиугольника.
   Ответ: Пример сечения изображён схематически.