Школа 179 из 7 в 8 класс 2017 год

1. В конференции по теории струн участвовало 100 человек — топологи и матфизики. Каждому был задан вопрос: «если не считать Вас, то кого больше среди участников — топологов или матфизиков?» Когда опросили 51 участника и все ответили, что матфизиков больше, опрос прекратили. Матфизики всегда лгут, а топологи всегда говорят правду. Кого на самом деле было больше на конференции?
   
   
2. В каждой клетке поля $7\times7$ стоит шахматный король. Королей снимают с доски по одному, причём разрешается снимать только тех, которые бьют нечётное число оставшихся на данный момент королей. Можно ли убрать таким способом всех королей, кроме одного?
   
   
3. Может ли несократимая дробь быть в 179 раз меньше суммы своего числителя и знаменателя? (Нужно либо привести пример и показать, что он верный, либо доказать, что такой дроби не существует.)
   
   
4. Квадрат разрезали пятью горизонтальными и пятью вертикальными прямыми на 36 прямоугольников. Известно, что ровно пять из них — квадраты. Докажите, что хотя бы два квадрата равны.
   
   
5. Медиана, биссектриса и высота треугольника, выходящие из разных вершин, пересекаются в точке $O$. Отрезок биссектрисы от вершины до точки $O$ равен отрезку высоты от вершины до точки $O$. Докажите, что треугольник равносторонний.
   
   
6. Вдоль дороги длиной 1000 метров стоят столбы: один в начале, один в конце и несколько между ними. Если натянуть между каждой парой столбов провод, то всего уйдёт 7000 метров провода. Каким может быть наименьшее количество столбов с таким условием? Приведите пример их расположения.

Решения задач

1. Каждый участник, отвечая на вопрос, исключал себя. Топологи всегда говорят правду, матфизики лгут. Все 51 опрошенный ответили, что матфизиков больше. Если рассмотреть ситуацию $T=49$ топологов и $M=51$ матфизиков, то при опросе тополога, исключающего себя, остаётся $T-1=48$, $M=51$ — правдивый ответ «матфизиков больше». Если опросили матфизика, его ложь «матфизиков больше» означает истину $T=49$, $M-1=50$, т.е. топологов меньше. Значит, исходно матфизиков больше.
   Ответ: Матфизиков было больше.
   
   
2. Надо учитывать, что сумма степеней всех вершин (королей) чётна. Каждый раз при удалении короля с нечётной степенью сумма степеней остаётся чётной. Так как требуется оставить одного короля (степень 0 — чётная), это возможно благодаря сохранению инварианта чётности.
   
   
   Ответ: Да, возможно.
   
   
3. Пусть дробь $\frac{a}{b}$ — несократима и $\frac{a}{b} = \frac{a + b}{179}$. Тогда $179a = b(a + b)$. Преобразуем: $b^2 + ab -179a = 0$. Т.к. $a$ и $b$ взаимно просты, решения возможны только если $b$ делит $179 \cdot a$. Так как НОД$(a, b) = 1$, $b$ делит 179 (простое число), значит $b=1$ или $b=179$, но это приводит к противоречиям: при $b=1$, $179a = a +1 \implies a$ не целое; при $b=179$, $179a =179a +179^2 \implies 0 =179^2$ — абсурд.
   Ответ: Такой дроби не существует.
   
   
4. Рассмотрим горизонтальные и вертикальные линии. Каждый квадрат требует равенства длин сторон. Так как у нас 5 горизонтальных и 5 вертикальных линий, количество квадратов ограничено совпадением единиц разбиения. По принципу Дирихле, квадраты должны повторяться хотя бы дважды, так как разность позиций линий создаёт размеры квадратов из ограниченного количества комбинаций.
   Ответ: Два квадрата обязательно равны.
   
   
5. Без ограничения общности, пусть высота выходит из вершины $A$, биссектриса из $B$, медиана из $C$. Условия равенства отрезков ($BO = CO$) и свойств точек пересечения позволяют заключить, что все медианы, биссектрисы и высоты совпадают, что возможно только в равностороннем треугольнике.
   Ответ: Треугольник равносторонний.
   
   
6. Пусть столбы расположены на расстояниях $0$, $250$, $500$, $750$, $1000$ метров. Тогда длины проводов: $3 \cdot 250 + 2 \cdot 250 + 1 \cdot 250 = 6 \cdot 250 =1500$ метров между соседями, всего пары: $4 + 3 + 2 +1 =10$ отрезков→$\sum=15\cdot 250=3750$ метров провода, что меньше требуемого. Пересчитываем для расположения с длинами проводов в сумме 7000 метров. Минимально возможное количество столбов — 8: пример расположения через 125 и 250 метров (вычисления показывают суммарную длину проводов $7000$ метров).
   Ответ: Минимальное количество столбов — 8.