8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Школа 1514 Экзаменационная работа за 9 класс

Сложность:
Дата экзамена: 06.2022

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ШКОЛА 1514


Экзаменационная работа по математике в 9 классе

  1. Упростите выражение \[ \left(\frac{5c^2-c}{25c^2-10c+1}+\frac{4}{1-25c^2}\right):\left(1-\frac{3}{5c-1}\right)-\frac{c}{5c+1}. \]
    1. Найдите область определения функции \[ f(x)=\frac{1+x}{\sqrt{2+3x-5x^2}}. \]
    2. Решите систему неравенств: \[ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{2}{x-1}<3,\\[0.8em] \displaystyle \left|x^2-3x\right|+x\ge 3. \end{array} \right. \]
    3. Решите неравенство \[ \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x-7}\le \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x-5}. \]
    1. Упростите выражение \[ (2\sqrt{6}-5)^2-10\sqrt{49-20\sqrt{6}}+1. \]
    2. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2+3y^2=4,\\ x^2-5xy=6. \end{array} \right. \]
    1. Три положительных числа образуют арифметическую прогрессию, причём третье число на 14 больше первого. Если к третьему числу прибавить первое, то первое, второе и полученное число образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.
    2. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 120 км. Город $C$ находится между городами $A$ и $B$. Из города $A$ в город $B$ выехал автомобиль, а через 36 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $C$ и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из $C$ в $A$, автомобиль прибыл в $B$. Найдите расстояние от $A$ до $C$.
  5. Решите уравнение:
    1. \[ \frac{6}{(x-1)(x+3)}-\frac{24}{(x-2)(x+4)}=1. \]
    2. \[ |1+3x|-|x-1|=2-x. \]
    3. \[ (2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)=9x^2. \]
    1. Решите графически систему уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{l} y=\left|x^2-8x+12\right|,\\ x+y=6. \end{array} \right. \]
    2. При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=4,\\ y-|x|=a \end{array} \right. \] имеет ровно два решения?
  7. Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^\circ$ и $150^\circ$, а $CD=33$.
  8. Медиана $BM$ и биссектриса $AP$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K$, длина стороны $AC$ относится к длине стороны $AB$ как $7:10$. Найдите отношение площади треугольника $AKM$ к площади треугольника $ABC$.
  9. Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM=17$ и $MB=19$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.
  10. Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает $BC$ и $CD$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
    1. Докажите, что отрезки $AE$ и $AK$ равны.
    2. Найдите $AD$, если $CE=48$, $DK=20$, а косинус угла $BAD$ равен $0{,}4$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ШКОЛА 1514


Экзаменационная работа по математике в 9 классе. Решения

  1. Задача. Упростить выражение \[ \left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right):\left(\frac{x}{x}-\frac{9}{x^3-1}\right). \]
    Решение. Сначала упростим первую скобку: \[ \frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{x^2+x+1-(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x+2}{(x-1)(x^2+x+1)}. \] Во второй скобке \[ \frac{x}{x}-\frac{9}{x^3-1}=1-\frac{9}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)-9}{(x-1)(x^2+x+1)}. \] Так как $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$, получаем \[ \frac{(x-1)(x^2+x+1)-9}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^3-10}{(x-1)(x^2+x+1)}. \] Теперь делим дроби: \[ \frac{x+2}{(x-1)(x^2+x+1)}:\frac{x^3-10}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x+2}{x^3-10}. \]
    Ответ. \(\displaystyle \frac{x+2}{x^3-10}\), при \(x\ne 0,\ x\ne 1,\ x^3\ne 10\).
  2. Задача. Решить уравнения: а) \(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=0\); б) \(6x^4+x^2-7=0\).
    Решение. а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Имеем \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2), \qquad x^2-1=(x-1)(x+1). \] Из числителя получаем \(x=1\) или \(x=2\), но при \(x=1\) знаменатель равен нулю. Значит, остаётся только \(x=2\). б) Сделаем замену \(t=x^2\). Тогда \[ 6t^2+t-7=0. \] Дискриминант равен \(1+168=169\), поэтому \[ t=\frac{-1\pm 13}{12}. \] Получаем \(t=1\) или \(t=-\frac{7}{6}\). Так как \(t=x^2\ge 0\), подходит только \(t=1\), значит \(x=\pm 1\).
    Ответ. а) \(2\); б) \(-1\), \(1\).
  3. Задача. Упростить выражение \[ (8-2\sqrt{12})(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2. \]
    Решение. Сначала \[ \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \] поэтому \[ 8-2\sqrt{12}=8-4\sqrt{3}=4(2-\sqrt{3}). \] Далее \[ (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}=4(2+\sqrt{3}). \] Тогда всё выражение равно \[ 4(2-\sqrt{3})\cdot 4(2+\sqrt{3})=16(4-3)=16. \]
    Ответ. \(16\).
  4. Задача. Решить неравенства: а) \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x+14>3(x-6),\\[0.2em] \dfrac{x-1}{3}\le 2 \end{array} \right. \] б) \(\displaystyle \frac{1}{x-5}\le \frac{2}{x+6}\).
    Решение. а) Из первого неравенства получаем \[ 5x+14>3x-18, \qquad 2x>-32, \qquad x>-16. \] Из второго неравенства имеем \[ x-1\le 6, \qquad x\le 7. \] Пересечение этих условий: \[ -16< x\le 7. \] б) Перенесём всё в одну сторону: \[ \frac{1}{x-5}-\frac{2}{x+6}\le 0. \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x+6-2x+10}{(x-5)(x+6)}\le 0, \qquad \frac{16-x}{(x-5)(x+6)}\le 0. \] Критические точки: \(-6\), \(5\), \(16\). По знакам дроби получаем решение \[ (-6;5)\cup [16;+\infty). \]
    Ответ. а) \((-16;7]\); б) \((-6;5)\cup [16;+\infty)\).
  5. Задача. Два велосипедиста одновременно отправляются в пробег длиной \(60\) км. Первый едет на \(10\) км/ч быстрее второго и приезжает на \(3\) часа раньше. Найти скорость велосипедиста, пришедшего вторым.
    Решение. Пусть скорость второго велосипедиста равна \(x\) км/ч. Тогда скорость первого равна \(x+10\) км/ч. По условию разность времен равна \(3\) часа: \[ \frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3. \] Упростим: \[ \frac{600}{x(x+10)}=3, \qquad x(x+10)=200. \] Получаем квадратное уравнение \[ x^2+10x-200=0. \] Его корни \(10\) и \(-20\), но скорость не может быть отрицательной, значит \(x=10\).
    Ответ. \(10\) км/ч.
  6. Задача. Для функции \(y=\left|x^2-6x\right|\): а) построить график; б) указать промежутки возрастания и убывания; в) определить, сколько решений имеет уравнение \(\left|x^2-6x\right|=a\) в зависимости от \(a\).
    Решение. Так как \[ x^2-6x=x(x-6), \] то на промежутке \(0\le x\le 6\) выражение \(x^2-6x\le 0\), а вне этого промежутка оно неотрицательно. Поэтому \[ y= \left\{ \begin{array}{ll} x^2-6x, & x\le 0 \text{ или } x\ge 6,\\[0.2em] -x^2+6x, & 0\le x\le 6. \end{array} \right. \] График состоит из двух ветвей параболы \(y=x^2-6x\) вне отрезка \([0;6]\) и дуги параболы \(y=-x^2+6x\) на отрезке \([0;6]\). Ключевые точки: \((0;0)\), \((3;9)\), \((6;0)\). Отсюда видно, что функция убывает на \((-\infty;0)\) и \((3;6)\), возрастает на \((0;3)\) и \((6;+\infty)\). Для уравнения \(\left|x^2-6x\right|=a\): при \(a<0\) решений нет; при \(a=0\) решений \(2\); при \(0<a9\) решений \(2\).
    Ответ. а) График задаётся кусочно: \[ y= \left\{ \begin{array}{ll} x^2-6x, & x\le 0 \text{ или } x\ge 6,\\[0.2em] -x^2+6x, & 0\le x\le 6; \end{array} \right. \] б) возрастает на \((0;3)\) и \((6;+\infty)\), убывает на \((-\infty;0)\) и \((3;6)\); в) при \(a<0\) – \(0\) решений, при \(a=0\) – \(2\), при \(0<a9\) – \(2\).
  7. Задача. Основания равнобедренной трапеции равны \(8\) и \(18\), а периметр равен \(56\). Найти площадь трапеции.
    Решение. Пусть боковая сторона трапеции равна \(x\). Тогда \[ 8+18+2x=56, \qquad 2x=30, \qquad x=15. \] Опустим высоты на большее основание. Разность оснований равна \(18-8=10\), значит каждый из двух крайних отрезков равен \(5\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(15\) и катетом \(5\) высота трапеции равна \[ h=\sqrt{15^2-5^2}=\sqrt{225-25}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}. \] Тогда площадь \[ S=\frac{8+18}{2}\cdot h=13\cdot 10\sqrt{2}=130\sqrt{2}. \]
    Ответ. \(130\sqrt{2}\).
  8. Задача. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(M\) – середина стороны \(CD\). Известно, что \(MA=MB\). Доказать, что этот параллелограмм является прямоугольником.
    Решение. Обозначим через \(N\) середину стороны \(AB\). Так как \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\), то \[ BN=\frac{AB}{2}, \qquad CM=\frac{CD}{2}, \] значит \(BN=CM\), а также \(BN\parallel CM\). Следовательно, четырёхугольник \(BNMC\) – параллелограмм, поэтому \[ NM\parallel BC. \] Но в параллелограмме \(BC\parallel AD\), значит \[ NM\parallel AD. \] Теперь рассмотрим треугольник \(AMB\). По условию \(MA=MB\), значит он равнобедренный. Так как \(N\) – середина основания \(AB\), прямая \(MN\) является медианой к основанию, а в равнобедренном треугольнике такая медиана перпендикулярна основанию. Следовательно, \[ MN\perp AB. \] Так как \(AD\parallel MN\), получаем \[ AD\perp AB. \] Значит, один угол параллелограмма прямой, следовательно, параллелограмм является прямоугольником.
    Ответ. Данный параллелограмм – прямоугольник.
  9. Задача. Середина \(M\) стороны \(AD\) выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найти \(AD\), если \(BC=6\), а углы \(B\) и \(C\) четырёхугольника равны соответственно \(124^\circ\) и \(116^\circ\).
    Решение. Так как точка \(M\) равноудалена от всех вершин, то точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окружности с центром в \(M\). Поскольку \(M\) – середина стороны \(AD\), отрезок \(AD\) проходит через центр окружности, значит \(AD\) – диаметр. Тогда \[ \angle ABD=90^\circ, \qquad \angle ACD=90^\circ. \] Из угла \(B\) получаем \[ \angle DBC=124^\circ-90^\circ=34^\circ, \] а из угла \(C\) \[ \angle BCA=116^\circ-90^\circ=26^\circ. \] Угол \(\angle BCA\) опирается на дугу \(BA\), значит центральный угол \[ \angle BMA=2\cdot 26^\circ=52^\circ. \] Угол \(\angle DBC\) опирается на дугу \(DC\), значит \[ \angle DMC=2\cdot 34^\circ=68^\circ. \] Так как \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на одной полуокружности с диаметром \(AD\), то \[ \angle BMA+\angle BMC+\angle CMD=180^\circ. \] Отсюда \[ \angle BMC=180^\circ-52^\circ-68^\circ=60^\circ. \] В треугольнике \(BMC\) стороны \(MB\) и \(MC\) равны как радиусы, а угол между ними равен \(60^\circ\), значит треугольник \(BMC\) равносторонний. Следовательно, \[ MB=BC=6. \] Это радиус окружности, значит \[ AD=2\cdot 6=12. \]
    Ответ. \(12\).
Материалы школы Юайти