Республиканский лицей-интернат из 8 в 9 класс 2023 вариант 1

1. Вычислите: \[ \bigl(3\tfrac{1}{4} + 2\tfrac{1}{6}\bigr):2\tfrac{3}{5}\;-\;\tfrac{2}{3}:\tfrac{4}{9}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ (4x - 3)^2 \;+\;(3x - 1)(3x + 1)\;=\;9. \]
   
   
3. Упростите выражение: \[ (\displaystyle\frac{4c}{c-4} - \frac{3c}{c^2 - 8c + 16}): {\displaystyle\frac{4c - 19}{c^2 - 16}} - \frac{4c + 16}{c-4}. \]
   
   
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно из \(B\) в \(A\) выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью на 11 км/ч большей скорости пешехода и сделал на пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта \(B\).
   
   
5. Отрезки \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\). Найдите \(MC\), если \(AB = 10\), \(DC = 25\), \(AC = 56\).
   
   
6. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол при большем основании равен \(60^\circ\). Найдите её периметр.
   
   

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(3\tfrac{1}{4} + 2\tfrac{1}{6}\bigr):2\tfrac{3}{5}\;-\;\tfrac{2}{3}:\tfrac{4}{9}. \]
   Решение: Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\tfrac{1}{4} = \frac{13}{4}, \quad 2\tfrac{1}{6} = \frac{13}{6}, \quad 2\tfrac{3}{5} = \frac{13}{5} \] Выполним операции последовательно: \[ \frac{13}{4} + \frac{13}{6} = \frac{39 + 26}{12} = \frac{65}{12} \] Деление на \(\frac{13}{5}\): \[ \frac{65}{12} : \frac{13}{5} = \frac{65}{12} \cdot \frac{5}{13} = \frac{25}{12} \] Деление дробей \(\frac{2}{3} : \frac{4}{9}\): \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2} \] Окончательный результат: \[ \frac{25}{12} - \frac{18}{12} = \frac{7}{12} \] Ответ: \(\boxed{\frac{7}{12}}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (4x - 3)^2 \;+\;(3x - 1)(3x + 1)\;=\;9. \]
   Решение: Раскроем скобки: \[ 16x^2 - 24x + 9 + 9x^2 - 1 = 9 \] Упростим и приведем подобные: \[ 25x^2 - 24x + 8 = 9 \quad \Rightarrow \quad 25x^2 - 24x - 1 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 676 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 26 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{24 \pm 26}{50} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{25} \] Ответ: \(\boxed{1}\) и \(\boxed{-0,04}\).
   
   
3. Упростите выражение: \[ \left(\frac{4c}{c-4} - \frac{3c}{c^2 - 8c + 16}\right) : \frac{4c - 19}{c^2 - 16} - \frac{4c + 16}{c-4}. \]
   Решение: Преобразуем знаменатели: \[ c^2 - 8c + 16 = (c-4)^2, \quad c^2 - 16 = (c-4)(c+4) \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{4c(c-4) - 3c}{(c-4)^2} = \frac{4c^2 - 19c}{(c-4)^2} \] Выполним деление: \[ \frac{4c^2 - 19c}{(c-4)^2} \cdot \frac{(c-4)(c+4)}{4c - 19} = \frac{c(c+4)}{c-4} \] Вычитаем второе слагаемое: \[ \frac{c(c+4) - 4(c+4)}{c-4} = \frac{(c-4)(c+4)}{c-4} = c+4 \] Ответ: \(\boxed{c+4}\).
   
   
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно из \(B\) в \(A\) выехал велосипедист. Найдите скорость пешехода, если встреча произошла в 8 км от пункта \(B\).
   Решение: Пусть скорость пешехода \(x\) км/ч, тогда скорость велосипедиста \(x+11\) км/ч. До встречи пешеход прошел \(5\) км, велосипедист проехал \(8\) км. Время движения: \[ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+11} + \frac{1}{2} \] Преобразуем уравнение: \[ 10(x+11) = 16x + x(x+11) \quad \Rightarrow \quad x^2 + 17x - 110 = 0 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-17 \pm 27}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Ответ: \(\boxed{5}\) км/ч.
   
   
5. Отрезки \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\). Найдите \(MC\), если \(AB = 10\), \(DC = 25\), \(AC = 56\).
   Решение: Треугольники \(AMB\) и \(DMC\) подобны с коэффициентом подобия: \[ k = \frac{AB}{DC} = \frac{2}{5} \] Распределение отрезка \(AC\): \[ AM = \frac{2}{7} \cdot 56 = 16, \quad MC = \frac{5}{7} \cdot 56 = 40 \] Ответ: \(\boxed{40}\).
   
   
6. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол при большем основании равен \(60^\circ\). Найдите её периметр.
   Решение: Проекция боковой стороны на основание: \[ \frac{27 - 12}{2} = 7,5\; \text{см} \] Боковая сторона трапеции: \[ \frac{7,5}{\cos 60^\circ} = 15\; \text{см} \] Периметр: \[ 12 + 27 + 2 \cdot 15 = 84\; \text{см} \] Ответ: \(\boxed{84}\) см.