Республиканский лицей-интернат из 8 в 9 класс 2023 вариант 2

1. Вычислите: \[ \bigl(3\tfrac{1}{4} + 2\tfrac{1}{6}\bigr)\;\colon\;2\tfrac{3}{5}\;-\;\tfrac{2}{3}:\tfrac{4}{9}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19. \]
   
   
3. Упростите выражение: \[ (\frac{8b}{b+7} - \frac{15b}{b^2 + 14b + 49}): {\frac{8b + 41}{b^2 - 49} - \frac{7b - 49}{b+7}}. \]
   
   
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта \(B\) вышел турист и встретил пешехода в 9 км от \(B\). Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из \(A\).
   
   
5. Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите \(BN\), если \(MN = 13\), \(AC = 65\), \(NC = 28\).
   
   
6. Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(BC\). Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\), если \(AB = 9\).

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(3\tfrac{1}{4} + 2\tfrac{1}{6}\bigr)\;\colon\;2\tfrac{3}{5}\;-\;\tfrac{2}{3}:\tfrac{4}{9} \]
   Решение: \[ 3\tfrac{1}{4} = \frac{13}{4},\quad 2\tfrac{1}{6} = \frac{13}{6},\quad 2\tfrac{3}{5} = \frac{13}{5} \] \[ \frac{13}{4} + \frac{13}{6} = \frac{65}{12},\quad \frac{65}{12} : \frac{13}{5} = \frac{25}{12} \] \[ \frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{3}{2},\quad \frac{25}{12} - \frac{3}{2} = \frac{7}{12} \]
   Ответ: \(\frac{7}{12}\).
2. Решите уравнение: \[ (x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19 \]
   Решение: \[ x^2 + 10x + 25 + x^2 - 49 = 6x -19 \] \[ 2x^2 + 4x - 24 = 6x -19 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 -2x -5 = 0 \] \[ D = 4 + 40 = 44, \quad x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2} \]
   Ответ: \(\frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}\).
3. Упростите выражение: \[ \left(\frac{8b}{b+7} - \frac{15b}{b^2 + 14b + 49}\right) \div \left({\frac{8b + 41}{b^2 - 49} - \frac{7b - 49}{b+7}}\right) \]
   Решение: Числитель: \[ \frac{8b(b + 7) - 15b}{(b + 7)^2} = \frac{b(8b +41)}{(b +7)^2} \] Знаменатель: \[ \frac{8b +41 -7(b-7)}{(b -7)(b +7)} = \frac{b +90}{b^2 -49} \] Итог: \[ \frac{b(8b +41)}{(b +7)^2} \div \frac{b +90}{(b -7)(b +7)} = \frac{b(8b +41)(b -7)}{(b +7)^3 (b +90)} \]
   Ответ: \(\frac{b(8b +41)(b -7)}{(b +7)^3 (b +90)}\).
4. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) вышел пешеход. Через полчаса из \(B\) вышел турист, встретил пешехода в 9 км от \(B\). Скорость туриста на 1 км/ч больше. Найдите скорость пешехода.
   Решение: Пусть \(x\) км/ч — скорость пешехода. Тогда турист прошёл 9 км за \(t = \frac{9}{x +1}\) часов. Пешеход за это же время прошёл: \[ x\left(t +0.5\right) =10 \quad \Rightarrow \quad x\left(\frac{9}{x +1} +0.5\right)=10 \] Решение уравнения: \[ x^2 -x -20 =0 \quad \Rightarrow \quad x =5 \text{ км/ч}. \]
   Ответ: 5 км/ч.
5. Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите \(BN\), если \(MN = 13\), \(AC = 65\), \(NC = 28\).
   Решение: \[ \frac{MN}{AC} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad BN : BC =1:5 \] \[ NC = \frac{4}{5}BC =28 \quad \Rightarrow \quad BC =35,\quad BN =7. \]
   Ответ: 7.
6. Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\) на \(BC\). Найдите периметр параллелограмма, если \(AB = 9\).
   Решение: Биссектрисы отсекают равные отрезки \(BM = AB =9\) и \(MC = AD =9\). Тогда \(BC = BM + MC =18\). Периметр: \[ P = 2(AB + BC) = 2(9 +18) =54. \]
   Ответ: 54.