Лицей №1511 из 7 в 8 класс 1 этап

1. (1) (10 баллов) Выполните действия: \[ \bigl(1\tfrac{1}{3}-0{,}2-\tfrac{1}{6}\bigr)\;\big/\;\bigl(\tfrac{5}{36}-0{,}3\bigr). \]
   
   
2. (2) (10 баллов) Число \(B\) на 75 больше числа \(A\). Если число \(A\) увеличить на \(30\%\), то получим число \(C\), а если \(B\) уменьшить на \(40\%\), то получим число \(D\). Известно, что \(C + D\) на \(20\%\) меньше чем \(A + B\). Найдите число \(A\).
   
   
3. (3) (10 баллов) Найдите значение выражения \[ \biggl(\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b}\biggr)\cdot \frac{2a}{a + b} \quad\text{при}\quad a = 2\frac{3}{7},\; b = 0{,}21. \]
   
   
4. (4) (10 баллов) Найдите значение числового выражения: \[ \frac{36^7\cdot 4^{17}}{27^5\cdot8^{16}}+\frac{30^9\cdot125^5}{625^6\cdot6^{10}}. \]
   
   
5. (5) (10 баллов) Решите уравнение: \[ 3 - \frac{9 - 4x}{5} \;=\;\frac{5x + 9}{6}. \]
   
   
6. (6) (10 баллов) Одно из двух натуральных чисел при делении на 13 имеет остаток 2, а другое — остаток 9. Какой остаток получится при делении на 13 удвоенного произведения этих чисел?
   
   
7. (7) (10 баллов) На прямой \(y - x = 6\) найдите точку с координатами \((x_0; y_0)\), равнодействующую от осей координат. В ответ запишите значение \(x_0\cdot y_0\).
   
   
8. (8) (10 баллов) В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) медиана \(CM\) и биссектриса \(AK\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(\angle AOM = 81^\circ\). Найдите \(\angle ABC\).

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \bigl(1\tfrac{1}{3}-0{,}2-\tfrac{1}{6}\bigr)\;\big/\;\bigl(\tfrac{5}{36}-0{,}3\bigr) \] Решение:
   Числитель: \[ 1\tfrac{1}{3} - 0,2 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{4}{3} - \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{29}{30} \] Знаменатель: \[ \tfrac{5}{36} - 0,3 = \tfrac{5}{36} - \tfrac{3}{10} = -\tfrac{29}{180} \] Результат: \[ \tfrac{29}{30} : \left(-\tfrac{29}{180}\right) = -6 \] Ответ: \(-6\).
   
   
2. Найдите число \(A\), если \(B = A + 75\), \(C = 1,3A\), \(D = 0,6B\) и \(C + D = 0,8(A + B)\).
   Решение: \[ 1,3A + 0,6(A + 75) = 0,8(2A + 75) \] Упрощаем: \[ 1,9A + 45 = 1,6A + 60 \quad\Rightarrow\quad 0,3A = 15 \quad\Rightarrow\quad A = 50 \] Ответ: \(50\).
   
   
3. Найдите значение выражения при \(a = 2\tfrac{3}{7}\), \(b = 0{,}21\): \[ \biggl(\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b}\biggr)\cdot \frac{2a}{a + b} \] Решение: Упрощаем выражение: \[ \left(\frac{a + b}{2a}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} = 1 \] Ответ: \(1\).
   
   
4. Найдите значение выражения: \[ \frac{36^7\cdot 4^{17}}{27^5\cdot8^{16}} + \frac{30^9\cdot125^5}{625^6\cdot6^{10}} \] Решение: Первое слагаемое: \[ \frac{(2^{2}\cdot3^{2})^7\cdot(2^{2})^{17}}{(3^{3})^5\cdot(2^{3})^{16}} = \frac{2^{48}\cdot3^{14}}{3^{15}\cdot2^{48}} = \frac{1}{3} \] Второе слагаемое: \[ \frac{(2\cdot3\cdot5)^9\cdot(5^{3})^5}{(5^{4})^6\cdot(2\cdot3)^{10}} = \frac{2^{9}\cdot3^{9}\cdot5^{24}}{5^{24}\cdot2^{10}\cdot3^{10}} = \frac{1}{6} \] Сумма: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \] Ответ: \(\frac{1}{2}\).
   
   
5. Решите уравнение: \[ 3 - \frac{9 - 4x}{5} = \frac{5x + 9}{6} \] Решение: Умножаем обе части на 30: \[ 90 - 6(9 - 4x) = 5(5x + 9) \quad\Rightarrow\quad 36 + 24x = 25x + 45 \quad\Rightarrow\quad x = -9 \] Ответ: \(-9\).
   
   
6. Найдите остаток от деления удвоенного произведения чисел на 13, если остатки исходных чисел — 2 и 9.
   Решение: Произведение: \[ (13k + 2)(13m + 9) \equiv 2 \cdot 9 = 18 \equiv 5 \pmod{13} \] Удвоенное произведение: \[ 2 \cdot 5 = 10 \equiv 10 \pmod{13} \] Ответ: \(10\).
   
   
7. Найдите точку \((x_0; y_0)\) на прямой \(y - x = 6\), равнодействующую от осей координат.
   Решение: Условие: \(|x_0| = |y_0|\). Подставляем \(y_0 = x_0 + 6\): \[ |x_0| = |x_0 + 6| \quad\Rightarrow\quad x_0 = -3, \quad y_0 = 3 \] Результат: \[ x_0 \cdot y_0 = -9 \] Ответ: \(-9\).
   
   
8. Найдите \(\angle ABC\), если \(\angle AOM = 81^\circ\).
   Решение: Из свойств медиан и биссектрис в прямоугольном треугольнике, угол \(\angle ABC = 36^\circ\). Ответ: \(36^\circ\).