Предуниверсарий МАИ из 9 в 10 класс 2022 вариант 2

1. Найдите значение выражения \[ 2 + \sqrt{5}. \]
   
   
2. Упростите выражение \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - a^2}} \,\biggl(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x - a^2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x - a^2}}\biggr) -\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x - a^2}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - a^2}}. \]
   
   
3. Известно, что число \(\displaystyle \frac{255a}{08b}\) кратно 45. Определите все возможные значения параметра \(a\).
   
   
4. Расстояние между пристанями \(A\) и \(B\) равно 80 км. Из \(A\) в \(B\) по течению реки отправился теплоход, а через 2 ч вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибив в \(B\), сразу повернула обратно и возвратилась в пункт \(A\). К этому времени теплоход проплыл 22 км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
   
   
5. В равнобокой трапеции окружность касается всех четырёх сторон, а пересекающая диагонали прямая проходит через вершину угла, ближе к большему основанию. Найдите длину боковой стороны трапеции.
   
   
6. Решите уравнение \[ (x^2 - 2x)^2 + x^2 + 8x + 3 = 0. \]
   
   
7. Найдите наименьшее значение выражения \[ 4h^2 + h^2 - 18m + 14h + 51. \]
   
   
8. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(K\) лежит на диагонали \(BD\) так, что \(BK:KD=1:4\). Из точки \(K\) луч \(AK\) делит сторону \(BC\) в отношении \(?\). Найдите это отношение.
   
   
9. Найдите вершину параболы \(\displaystyle y = -2x^2 + 3ax - 5\), проходящую через точку \((2; -7)\).
   
   
10. Биссектриса угла \(B\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(D\). Найдите углы треугольника \(ADC\), если угол \(\angle ABC = 80^\circ\).
    
    
11. Решите уравнение: \[ (x+1)\sqrt{16x+17} = 8x^2 - 75x - 23. \]
    
    
12. Аквариум заполнен водой. За месяц \(30\%\) воды испарилось. При этом объём воздуха увеличился на \(45\%\). Какую часть первоначального объёма аквариума заняла вода в конце месяца?
    
    

Решения задач

1. Найдите значение выражения \(2 + \sqrt{5}\).
   Ответ: \(2 + \sqrt{5}\).
   
   
2. Упростите выражение \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - a^2}} \,\biggl(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x - a^2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x - a^2}}\biggr) -\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x - a^2}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - a^2}}. \] Решение: После преобразований выражение принимает вид: \[ -\frac{2a^2}{\sqrt{x(x - a^2)}}. \] Ответ: \(-\dfrac{2a^2}{\sqrt{x(x - a^2)}}\).
   
   
3. Определите все возможные значения параметра \(a\), если число \(\frac{255a}{08b}\) кратно 45.
   Решение: Число делится на 45 только если \(b = 0\) или \(b = 5\), а сумма цифр кратна 9.
   \(a = 2\) при \(b = 5\) и \(a = 7\) при \(b = 0\).
   Ответ: \(2\) и \(7\).
   
   
4. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде.
   Решение: Время пути лодки до пункта \(B\) и обратно: \[ t = \frac{80}{Vm + 2} + \frac{80}{Vm - 2}. \] Теплоход за время \(t + 2\) проплыл 22 км со скоростью течения 2 км/ч: \[ 2(t + 2) = 22 \implies t = 9 \, \text{ч}. \] Решение уравнения: \[ Vm = 18 \text{ км/ч}. \] Ответ: \(18 \text{ км/ч}\).
   
   
5. Решите уравнение \((x^2 - 2x)^2 + x^2 + 8x + 3 = 0\).
   Решение: Раскроем выражение: \[ x^4 - 4x^3 + 5x^2 + 8x + 3 = 0. \] Рациональные корни отсутствуют. Корни определяются методами численного анализа.
   
   
6. Найлите вершину параболы \(y = -2x^2 + 3ax - 5\), проходящую через точку \((2; -7)\).
   Решение: Подставим точку \((2; -7)\): \[ -7 = -8 + 6a - 5 \implies 6a = 6 \implies a = 1. \] Координаты вершины: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-3a}{-4} = \frac{3}{4}. \] Ответ: \((\frac{3}{4}, \text{высота})\).
   
   
7. Найдите часть первоначального объёма аквариума, занятую водой после испарения.
   Решение: Пусть \(V\) — объём воды, \(A\) — объём аквариума. После испарения: \[ 0,7V = V_{\text{нов}}, \quad 1,45A_{\text{возд}} = A_{\text{возд нов}}. \] Доля воды: \[ \frac{0,7V}{0,7V + 1,45(A - V)}. \] Ответ: \(\frac{14}{29}\).