8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Новая школа из 9 в 10 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

Новая Школа

2021 год



  1. Найдите: а) \[ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x}}{\sqrt{1 + y} - \sqrt{1}} : \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot (\sqrt{x} - 1), \quad \text{при } x = -\frac{1}{4},\ y = 2{,}7; \]

    б) \[ \sin(\sin(\alpha)),\quad \text{если } \tg \alpha = -\frac{12}{5}, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. \]

  2. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1}{\left| \sin x \right| + \sqrt{3x - x^2}}. \]

  3. Решите уравнения: а) \( 3|x - 1| - 2x = 10 \) б) \( (x^2 + 2)^2 + 11 = 12(x^2 + 2) \)

  4. Решите задачи: а) Сторону квадрата увеличили на 30\%. На сколько процентов увеличилась его площадь? На сколько процентов увеличился его периметр?

    б) В одной новошкольной поездке, добираясь из пункта A в пункт B, мы остановились на полпути полюбоваться видами. Через 10 минут мы продолжили движение, но пришлось увеличить скорость на 12 км/ч, чтобы не выбиваться из графика. Найдите нашу первоначальную скорость, если расстояние AB было 120 км.

  5. Известно, что \( a^2 + \frac{1}{a^2} = 38 \). Найдите значение выражения \( a - \frac{1}{a} \), если оно отрицательное.

  6. В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 3:1, и более длинная сторона прямоугольника лежит на большем катете.

  7. Постройте график уравнения: \[ (x^2 + y - 3)(1 - x^2) = 0 \]


Часть 2. Требуется записать подробное решение каждой задачи.

  1. [start=8]
  2. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 13, а их произведение — 27. Найдите эти числа.

  3. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами 5, 6 и 7.

  4. Решите неравенство: \[ (x^2 - 5)(x^2 - 6) \geq -3x \]

  5. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( ax^2 + 2x - 1 = 0 \) имеет ровно два различных корня?

  6. Целой частью \( [x] \) числа \( x \) называется наибольшее целое число, не превосходящее \( x \). Дробной частью числа \( x \) называется такое число \( \{x\} \), что \( [x] + \{x\} = x \).

    а) Найдите: \( [4{,}98], \ \{0{,}17\},\ [-5{,}19],\ \{-4{,}2\} \)

    б) Решите уравнения: \[ [x + 2] = 3 \qquad \text{и} \qquad \{x\} = \frac{x}{3} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Найдите значение выражения: \[ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{x}}{\sqrt{1 + y} - \sqrt{1}} : \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot (\sqrt{x} - 1), \quad \text{при } x = -\frac{1}{4},\ y = 2{,}7 \]
      Решение: При подстановке \( x = -\frac{1}{4} \) возникают комплексные числа (\(\sqrt{x}\) мнимый), что выходит за рамки действительных чисел в школьной программе. Кроме того, \(\sqrt{1 + y} = \sqrt{3,7}\). Таким образом, выражение не определено из- взятия корня из отрицательного числа.
      Ответ: Выражение не определено.
    2. Найдите \(\sin(\sin(\alpha))\) при \(\tan \alpha = -\frac{12}{5}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).
      Решение: Из \(\tan \alpha = -\frac{12}{5}\) в II четверти:
      Гипотенуза: \(\sqrt{12^2 + 5^2} = 13\)
      \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\), \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\)
      Тогда \(\sin(\sin \alpha) = \sin\left(\frac{12}{13}\right) \approx 0,723\) (точное значение сохраняется как \(\sin\left(\frac{12}{13}\right)\)).
      Ответ: \(\sin\left(\frac{12}{13}\right)\).



  2. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1}{\left| \sin x \right| + \sqrt{3x - x^2}} \] Решение: Условия:
    1. \(3x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 - 3x \leq 0 \Rightarrow x \in [0; 3]\)
    2. Знаменатель не равен нулю: \[ |\sin x| + \sqrt{3x - x^2} \neq 0 \] Исследование:
      \(\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi\), внутри отрезка \([0;3]\) подходит \(x=0\). При этом \(\sqrt{0} = 0\), знаменатель равен нулю.
      Исключаем \(x=0\). Итоговая область: \[ x \in (0; 3] \] Ответ: \(x \in (0; 3]\).


  3. Решите уравнения:
    1. \(3|x - 1| - 2x = 10\)
      Решение:
      Случай 1: \(x \geq 1\) \[ 3(x - 1) - 2x = 10 \Rightarrow x - 3 = 10 \Rightarrow \boldsymbol{x = 13} \] Случай 2: \(x < 1\) \[ 3(1 - x) - 2x = 10 \Rightarrow -5x + 3 = 10 \Rightarrow \boldsymbol{x = -\frac{7}{5}} \] Ответ: \(13; -\frac{7}{5}\).
    2. \((x^2 + 2)^2 + 11 = 12(x^2 + 2)\)
      Решение: Замена \(t = x^2 + 2\): \[ t^2 - 12t + 11 = 0 \Rightarrow t = 11; t = 1 \] Возврат: \[ x^2 + 2 = 11 \Rightarrow x = \pm 3\quad (x^2 = 9) \] \[ x^2 + 2 = 1 \Rightarrow x^2 = -1 \quad (\text{нет решений}) \] Ответ: \(\pm 3\).


  4. Решите задачи:
    1. Сторону квадрата увеличили на 30\%. Площадь: \( (1{,}3a)^2 = 1{,}69a^2 \Rightarrow \text{увеличение на } 69% \). Периметр: \(4 \cdot 1{,}3a = 5{,}2a \Rightarrow \text{увеличение на } 30% \). Ответ: Площадь +69\%, периметр +30\%.
    2. Первоначальная скорость \(v\), уравнение времени: \[ \frac{60}{v} + \frac{60}{v + 12} + \frac{1}{6} = \frac{120}{v} \] Решение дает \(\boldsymbol{v = 60}\) км/ч. Ответ: 60 км/ч.


  5. Найдите \(a - \frac{1}{a}\) при \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 38\), отрицательное значение.
    Решение: \[ \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 = 38 - 2 = 36 \] По условию \(a - \frac{1}{a} = -6\).
    Ответ: \(-6\).

  6. Стороны прямоугольника в соотношении 3:1, вписанного в треугольник 6-8-10:
    Решение: Пусть стороны \(3x\) и \(x\). По подобию треугольников уравнение для гипотенузы: \[ y = -\frac{3}{4}x + 6 \quad (y = x),\quad x = \frac{24}{13} \] Стороны: \(\frac{72}{13}\) и \(\frac{24}{13}\).
    Ответ: \(\frac{72}{13}\) см и \(\frac{24}{13}\) см.

  7. График уравнения \((x^2 + y - 3)(1 - x^2) = 0\): Объединение параболы \(y = 3 - x^2\) и прямых \(x = \pm1\). Ответ: см. график.



  1. Члены геометрической прогрессии: \(a + aq + aq^2 = 13\), \(a^3q^3 = 27\). Решение дает члены \(1, 3, 9\) или \(9, 3,1\). Ответ: \(1, 3, 9\).

  2. Радиус описанной окружности треугольника 5-6-7: \[ R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}. \] Ответ: \(\frac{35\sqrt{6}}{24}\).

  3. Решите неравенство: \[ (x^2 - 5)(x^2 - 6) \geq -3x \] После преобразований: Все \(x\) действительные. Ответ: \(x \in \mathbb{R}\).

  4. Условия для двух корней уравнения \(ax^2 + 2x -1 =0\): \[ D = 4 + 4a > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -1;\ a \neq 0. \] Ответ: \(a > -1,\ a \neq 0\).

  5. Целая и дробная части:
    а) \([4{,}98] = 4\), \(\{0{,}17\} = 0{,}17\), \([-5{,}19] = -6\), \(\{-4{,}2\} = 0{,}8\). б) \[ [x + 2] = 3 \quad \Rightarrow \quad 3 \leq x + 2 < 4 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq x < 2. \] \[ \{x\} = \frac{x}{3} \quad \Rightarrow \quad x - [x] = \frac{x}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{2x}{3} = [x]. \] Решение: \(x = 0\) или \(x = \frac{3}{2}\). Ответ: а) См. выше. б) \(x \in [1; 2)\), \(0; \frac{3}{2}\).
Материалы школы Юайти