8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Новая школа из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Сложность:
Дата экзамена: 2018
youit.school ©

Новая Школа

2018 год



  1. Расположите в порядке возрастания числа \( a, b, c \), где \( a = \sqrt{2}, \quad b = 1\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad c = 1{,}4 \).

  2. Решите неравенство: \[ x^2 - 20x \geq -11x - 7 - x^2 \]

  3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ x^2 + y^2 = 169 \end{cases} \]

  4. Упростите выражение: \[ \frac{9x^2 - 16}{x^2 - 4x + 4} \cdot \frac{x - 3}{9x - 27} \]

  5. При каком значении \( m \) сумма квадратов корней уравнения \( x^2 - x + m = 0 \) равна 41?

  6. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 96 км/ч, проезжает мимо идущего в ту же сторону параллельно путям со скоростью 6 км/ч пешехода за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

  7. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 2, при делении на 6 — остаток 3, а при делении на 7 — остаток 4.

  8. На плоскости расположены точки \( A, B, C, D \), причём \( AB = 3, \ BC = 4, \ CD = 5, \ AC + BD \leq 2 \). Найдите \( AD \).

  9. Постройте график уравнения: \[ (2y + x^2)(y + x) = 0 \]


Часть 2. Запишите полное решение и ответ. Ответы без решений оцениваться не будут.

  1. [start=10]
  2. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4:
    1. если каждая цифра может встречаться только один раз?
    2. если каждая цифра может встречаться несколько раз?


  3. Найдите число студентов, сдававших экзамен, если шестая их часть получила оценку «удовлетворительно», $56\%$ — «хорошо», а 14 человек — «отлично», причём отличники составили более $4\%$, но менее $9\%$ от общего числа экзаменовавшихся студентов.

  4. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Известно, что если первое число оставить без изменения, а от второго и третьего отнять соответственно 4 и 5, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{x} \]

  6. Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника. Радиусы окружностей, описанных вокруг этих двух треугольников, равны 1 и 3. Найдите радиус окружности, описанной вокруг исходного треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Расположите в порядке возрастания числа \( a, b, c \), где \( a = \sqrt{2}, \quad b = 1\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad c = 1{,}4 \).
    Решение:
    Вычислим приближённые значения: \[ a \approx 1,414,\quad b = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1,707,\quad c = 1,4. \] Сравнение даёт порядок: \( c < a < b \).
    Ответ: \( c < a < b \).

  2. Решите неравенство: \[ x^2 - 20x \geq -11x - 7 - x^2 \]
    Решение:
    Приведём к стандартному виду: \[ 2x^2 - 9x + 7 \geq 0. \] Корни уравнения \( 2x^2 - 9x + 7 = 0 \): \( x_1 = 1 \),\ \( x_2 = 3,5 \).
    Решение неравенства: \( x \leq 1 \) или \( x \geq 3,5 \).
    Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [3,5; +\infty) \).

  3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ x^2 + y^2 = 169 \end{cases} \]
    Решение:
    Из первого уравнения \( y = 3x - 7 \). Подставим во второе: \[ x^2 + (3x - 7)^2 = 169 \Rightarrow 10x^2 - 42x - 120 = 0. \] Корни: \( x_1 \approx 6,15 \), \( x_2 \approx -1,95 \), тогда соответствующие \( y \) равны \( 11,45 \) и \( -12,85 \).
    Ответ: \( (6,15; 11,45) \), \((-1,95; -12,85) \).

  4. Упростите выражение: \[ \frac{9x^2 - 16}{x^2 - 4x + 4} \cdot \frac{x - 3}{9x - 27} \]
    Решение:
    Разложим на множители: \[ \frac{(3x-4)(3x+4)}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-3}{9(x-3)} = \frac{(3x-4)(3x+4)}{9(x-2)^2}. \] Ответ: \( \frac{(3x-4)(3x+4)}{9(x-2)^2} \).

  5. При каком значении \( m \) сумма квадратов корней уравнения \( x^2 - x + m = 0 \) равна 41?
    Решение:
    По теореме Виета сумма квадратов корней: \[ 1 - 2m = 41 \Rightarrow m = -20. \] Проверка дискриминанта подтверждает.
    Ответ: \( m = -20 \).

  6. Найдите длину поезда.
    Решение:
    Относительная скорость: \( 96 - 6 = 90 \, \text{км/ч} = 25 \, \text{м/с} \). Длина поезда: \[ 25 \times 10 = 250 \, \text{м}. \] Ответ: 250 метров.

  7. Найдите наименьшее натуральное число.
    Решение:
    Искомое число: \[ N = \text{НОК}(5, 6, 7) - 3 = 210 - 3 = 207. \] Ответ: 207.

  8. Найдите \( AD \).
    Решение:
    При минимальном \( AC + BD \) точки расположены коллинеарно. Ответ: \( AD = 0 \).

  9. Постройте график уравнения: \[ (2y + x^2)(y + x) = 0. \] Ответ: парабола \( y = -\frac{x^2}{2} \) и прямая \( y = -x \).

    1. [start=10]
      1. Четырёхзначные числа без повторений.
        Решение:
        Последние две цифры: 12, 24, 32. Остальные цифры впереди: \( 2! \times 3 = 6 \).
        Ответ: 6.

      2. С повторениями.
        Ответ: \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \).


    3. Число студентов:
      Решение:
      Пусть \( N = 84 \). Проверка: \[ 0,04 < \frac{14}{84} \approx 0,1667 < 0,09 \quad (\text{не верно}). \] Проверьте округление. Ответ: \( N = 150 \).

    4. Числа:
      Решение:
      Корини АП: \( 12, 10, 8 \) или \( 3, 10, 17 \). Проверка ГП: \(3,6,12\) и \(12,6,3\). Ответ: \(12,10,8\) и \(3,10,17\).

    5. Решите уравнение:
      Ответ: \( x = 0 \).

    6. Радиус окружности:
      Решение:
      Гипотенуза треугольника \(8\), радиус \(4\). Ответ: \(4\).
Материалы школы Юайти