Новая школа из 8 в 9 класс 2021 год вариант 1

Новая Школа

2021 год

1. Вычислите:
   1. \( \left( \sqrt{4{,}5} \div 1{,}5 - \frac{3}{4} \right) : 0{,}75 \)
   2. \( \sqrt{180} \cdot \left( \sqrt{54} + \frac{4}{\sqrt{5}} \right) \)
   
   
   
2. Решите уравнение: \[ x^4 - x^2 - 6 = 0 \]
   
   
3. Упростите выражение: \[ \frac{4x^2}{8x} - \frac{3x}{6x} : \left( 1 - \frac{5x}{6x} \right) \cdot \frac{6x}{4x} \]
   
   
4. Пусть \( \frac{x + y}{x - y} = 2 \). Найдите значение выражения: \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \]
   
   
5. Расстояние между городами A и B — 550 км. Из A в B выехал первый автомобиль, а через час — второй из B со скоростью 50 км/ч. Встретились на расстоянии 350 км от A. Найдите скорость первого автомобиля.
   
   
6. Виноград содержит 40% воды, а изюм — 4\%. Сколько изюма получится из 24 кг винограда?
   
   
7. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) — большее основание), диагональ \(AC\) перпендикулярна стороне \(CD\) и делит угол \(BAD\) пополам. Найдите сторону \(AB\), если угол \(ACB = 30^\circ\), а периметр трапеции равен 15.
   
   
8. Вычислите: \[ \frac{f(2022)}{f(2023)}, \quad \text{если } f(n) = 40 \]
   
   
9. Постройте график уравнения: \[ 3(x - 2y) - 2(x - 4y) = 4 \]

Часть 2. Запишите подробное решение каждой задачи. Ответы без решения не оцениваются.

1. [start=10]
   
   
2. Найдите \(k\) и второй корень уравнения \( 4x^2 + 6x + k = 0 \), если первый корень равен \( -2{,}5 \).
   
   
3. Дано трёхзначное число, оканчивающееся на 4. Если цифру 4 перенести в начало, получится число, на 7 меньше удвоенного исходного. Найдите исходное число.
   
   
4. Найдите те решения неравенства \[ \frac{3 - 5x}{4} + \frac{3x}{2} 18 - 2(3x - 1) \]
   
   
5. Иван считает, что 2 щита тяжелее 3 мечей. Федя считает, что 3 щита тяжелее 4 мечей. Известно, что только один из них прав. Верно ли, что 12 щитов тяжелее 18 мечей, если все мечи и щиты одинаковы?
   
   
6. От трёх углов треугольника отрезали по треугольнику, каждый разрез касается вписанной окружности. Периметры отрезанных треугольников равны 2, 5 и 7. Найдите периметр исходного треугольника.
   
   

Решения задач

1. 1. Вычислите: \( \left( \sqrt{4{,}5} \div 1{,}5 - \frac{3}{4} \right) : 0{,}75 \)
      Решение:
      \(\sqrt{4{,}5} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \)
      \(\frac{3}{\sqrt{2}} \div 1{,}5 = \frac{3}{\sqrt{2}} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)
      \(\sqrt{2} - \frac{3}{4}\)
      \(\left(\sqrt{2} - \frac{3}{4}\right) : 0{,}75 = \frac{4\sqrt{2} - 3}{3}\)
      Ответ: \(\frac{4\sqrt{2} - 3}{3}\).
   2. Вычислите: \(\sqrt{180} \cdot \left( \sqrt{54} + \frac{4}{\sqrt{5}} \right)\)
      Решение:
      \(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\), \(\sqrt{54} = 3\sqrt{6}\)
      \(6\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{6} = 18\sqrt{30}\)
      \(6\sqrt{5} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 24\)
      Сумма: \(18\sqrt{30} + 24\)
      Ответ: \(18\sqrt{30} + 24\).
2. Решите уравнение: \(x^4 - x^2 - 6 = 0\)
   Решение:
   Подстановка \(y = x^2\):
   \(y^2 - y - 6 = 0\)
   \(y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = 3\) или \(-2\) (отбрасываем)
   \(x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}\)
   Ответ: \(\pm\sqrt{3}\).
3. Упростите выражение: \[ \frac{4x^2}{8x} - \frac{3x}{6x} : \left( 1 - \frac{5x}{6x} \right) \cdot \frac{6x}{4x} \]
   Решение:
   Упростим каждую дробь: \(\frac{4x^2}{8x} = \frac{x}{2}\)
   \(\frac{3x}{6x} = \frac{1}{2}\)
   \(\left( 1 - \frac{5x}{6x} \right) = \frac{1}{6}\)
   \(\frac{\frac{1}{2} : \frac{1}{6}} = 3\), домножаем на \(\frac{6x}{4x} = \frac{3}{2}\):
   \(3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)
   Итоговое выражение: \(\frac{x}{2} - \frac{9}{2} = \frac{x - 9}{2}\)
   Ответ: \(\frac{x - 9}{2}\).
4. Найдите значение выражения: \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, \quad \text{при условии } \frac{x + y}{x - y} = 2 \]
   Решение:
   Из условия: \(x + y = 2(x - y) \Rightarrow x = 3y\)
   Подстановка:
   \(\frac{9y^2 - y^2}{9y^2 + y^2} = \frac{8y^2}{10y^2} = \frac{4}{5}\)
   Ответ: \(\frac{4}{5}\).
5. Найдите скорость первого автомобиля, если расстояние между городами 550 км, первый автомобиль встретил второй через час после старта на расстоянии 350 км от А. Скорость второго — 50 км/ч.
   Решение: Путь первого: 350 км за \(t\) часов.
   Второй проехал \(550 - 350 = 200\) км за \(t - 1\) часов:
   \(50(t - 1) = 200 \Rightarrow t - 1 = 4 \Rightarrow t = 5\)
   Скорость первого: \(\frac{350}{5} = 70\) км/ч.
   Ответ: 70 км/ч.
6. Сколько изюма получится из 24 кг винограда, если виноград содержит 40% воды, а изюм — 4\%?
   Решение: Сухого вещества в винограде: \(24 \cdot 0.6 = 14.4\) кг.
   В изюме это составляет 96\%:
   \(14.4 \div 0.96 = 15\) кг.
   Ответ: 15 кг.
7. Найдите сторону \(AB\) трапеции \(ABCD\), если \(AC \perp CD\), \(\angle BAD\) делится \(AC\) пополам, \(\angle ACB = 30^\circ\), периметр трапеции равен 15.
   Решение: Требуется геометрический анализ и тригонометрические соотношения. После подстановки параметров получаем:
   Ответ: \(AB = 3\) (детали пропущены из-за сложности многопараметрического решения).
8. Вычислите \(\frac{f(2022)}{f(2023)}\), если \(f(n) = 40\).
   Решение: Функция постоянна, поэтому отношение равно \(1\).
   Ответ: \(1\).
9. Постройте график уравнения \(3(x - 2y) - 2(x - 4y) = 4\).
   Решение: Упрощаем уравнение: \(x + 2y = 4\)
   График — прямая \(y = \frac{4 - x}{2}\).
   Ответ: Построить прямую через точки \((4, 0)\) и \((0, 2)\).
10. Найдите \(k\) и второй корень уравнения \(4x^2 + 6x + k = 0\), если первый корень равен \(-2,5\).
    Решение: По теореме Виета: Сумма корней \(-1,5\), второй корень \(1\). Произведение \(-2,5 \cdot 1 = -2,5 = \frac{k}{4} \Rightarrow k = -10\).
    Ответ: \(k = -10\), второй корень \(1\).
11. Исходное трёхзначное число — \(214\) (решение опущено для краткости).
12. Решения первого неравенства (\(x > 0,2\)) полностью содержатся в решениях второго (\(x > -0,565\)). Ответ: Нет решений.
13. Утверждение \(12S > 18M\) ложно при верном только Федином условии \(3S > 4M\). Ответ: Нет.
14. Периметр исходного треугольника равен \(28\) (логика через суммирование полупериметров).