Новая Школа из 8 в 9 класс 2021 год (демоверсия)

Примечания: Первое полугодие основано на повторении 8 класса.
Во втором полугодии добавляются задания на материал 9 класса по алгебре и геометрии.

Часть 1. Проверяются только ответы.

1. Вычислите, в ответ запишите результат вычисления: \[ \text{А) }\left(4{,}5:1\dfrac{2}{7}-\dfrac{12}{24}\right):0{,}75;\qquad \text{Б) }\sqrt{180}\cdot\left(\dfrac{\sqrt5}{4}+\dfrac{4}{\sqrt5}\right). \]
   
   
2. Решите уравнение, в ответ запишите корень или корни уравнения: \[ x^4-x^2-6=0. \]
   
   
3. Упростите выражение \[ \left(\dfrac{d^3-8}{d^2-4}-\dfrac{6d}{d+2}\right):\left(1-\dfrac{4}{d+2}\right)\cdot\dfrac{2}{d-2}. \]
   
   
4. Пусть \(\dfrac{3b-a}{b+2a}=2\). Найдите значение выражения \(\dfrac{4a^2-3ab+2b^2}{2a^2-ab}\).
   
   
5. Расстояние между городами А и В равно 550 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В со скоростью 50 км/ч выехал второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если они встретились на расстоянии 350 км от города А.
   
   
6. Виноград содержит 40% воды, а получаемый из него изюм — 4%. Сколько изюма будет получено из 24 кг винограда?
   
   
7. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) — большее основание) диагональ \(AC\) перпендикулярна стороне \(CD\) и делит угол \(BAD\) пополам. Найдите сторону \(AB\), если угол \(ACB\) равен \(30^\circ\), а периметр трапеции равен 15.
   
   
8. Вычислите значение выражения \(\dfrac{f(n-3)}{f(n-5)}\), где функция \(f(n)\) задана формулой \(f(n)=4^n\).
   
   
9. Постройте график уравнения \[ 3(x-2y)-2(x-4y)=4. \]

Часть 2. Требуется записать подробное решение каждой задачи на листочке.

1. Найдите \(k\) и второй корень уравнения \(4x^2+6x+k=0\), если первый корень равен \(-2{,}5\).
   
   
2. Данное трёхзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить на первое место, то новое число будет на 7 меньше удвоенного данного числа. Найдите данное число.
   
   
3. Найдите все те решения неравенства \[ 3-\dfrac{3-7x}{10}+\dfrac{x+1}{2}<\dfrac{7+8x}{2}, \] которые не являются решениями неравенства \[ 7(3x-5)+4(17-x)>18-\dfrac{5(2x-6)}{2}. \]
   
   
4. Иван и Федя готовились рыцарскому турниру. Они сделали в FabLab мечи и щиты. Чтобы рассказывать о тяжести доспехов, они решили их взвесить. Иван считает, что два щита тяжелее трёх мечей, Федя считает, что три щита тяжелее четырёх мечей. Известно, что один из мальчиков прав, а другой ошибается. Верно ли, что 12 щитов тяжелее 18 мечей? Известно, что все щиты одинаковые, и все мечи одинаковые.
   
   
5. От трёх углов треугольника отрезали по треугольнику. Причем каждый из трёх разрезов коснулся вписанной в треугольник окружности. Известно, что периметры отрезанных треугольников равны 2, 5 и 7. Найдите периметр исходного треугольника.

Решения задач

1. 1. [(А)] \[ \left(4{,}5 \div 1\dfrac{2}{7} - \dfrac{12}{24}\right) \div 0{,}75 = \left(\dfrac{9}{2} \div \dfrac{9}{7} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{3}{4} = \left(\dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{3}{4} = 3 \div 0{,}75 = 4 \] Ответ: 4.
   2. [(Б)] \[ \sqrt{180} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}}{4} + \dfrac{4}{\sqrt{5}}\right) = 6\sqrt{5} \cdot \left(\dfrac{5}{4} + \dfrac{16}{5}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) = 6\sqrt{5} \cdot \dfrac{63}{20} = \dfrac{63}{2} \] Ответ: 31,5 или $\dfrac{63}{2}$.
   
   
   
2. Решение уравнения $x^4 - x^2 - 6 = 0$: \[ y = x^2 \Rightarrow y^2 - y - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 3 \;(y = -2 \text{ — не подходит}) \Rightarrow x = \pm\sqrt{3} \] Ответ: $\pm\sqrt{3}$.
   
   
3. Упрощение выражения: \[ \left(\dfrac{d^3 - 8}{d^2 - 4} - \dfrac{6d}{d + 2}\right) \div \left(1 - \dfrac{4}{d + 2}\right) \cdot \dfrac{2}{d - 2} = \dfrac{(d - 2)^2}{d + 2} \div \dfrac{d - 2}{d + 2} \cdot \dfrac{2}{d - 2} = 2 \] Ответ: 2.
   
   
4. Найдем значение выражения при $\dfrac{3b - a}{b + 2a} = 2$: \[ \dfrac{4a^2 - 3ab + 2b^2}{2a^2 - ab} = \dfrac{39a^2}{-3a^2} = -13 \] Ответ: $-13$.
   
   
5. Скорость первого автомобиля $x$: \[ \dfrac{350}{x} = \dfrac{200}{50} + 1 \quad\Rightarrow\quad x = 70 \] Ответ: 70 км/ч.
   
   
6. Сухое вещество в винограде: $24 \cdot 0{,}6 = 14{,}4$ кг. Для изюма: \[ 14{,}4 \div 0{,}96 = 15 \text{ кг} \] Ответ: 15 кг.
   
   
7. Пусть $AB = x$, из геометрических соотношений: \[ AB = 5 \quad (\text{периметр равен 15}) \] Ответ: 5.
   
   
8. Значение выражения: \[ \dfrac{f(n - 3)}{f(n - 5)} = \dfrac{4^{n - 3}}{4^{n - 5}} = 4^{2} = 16 \] Ответ: 16.
   
   
9. График уравнения: \[ 3(x - 2y) - 2(x - 4y) = 4 \quad\Rightarrow\quad x + 2y = 4 \quad\Rightarrow\quad y = -\dfrac{x}{2} + 2 \] Ответ: прямая с угловым коэффициентом $-0{,}5$ через точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$.
   
   

Часть 2:

1. Корни уравнения $4x^2 + 6x + k = 0$: \[ x_1 = -2{,}5 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1 \quad\text{(сумма корней $-1{,}5$)}\quad k = -10 \] Ответ: $k = -10$, второй корень $1$.
   
   
2. Пусть исходное число $100a + 10b + 4$, новое число $400 + 10a + b$: \[ 400 + 10a + b = 2(100a + 10b + 4) - 7 \quad\Rightarrow\quad 10a + b = 21 \quad\Rightarrow\quad 214 \] Ответ: 214.
   
   
3. Решения неравенств: \[ 3 - \dfrac{3 - 7x}{10} + \dfrac{x + 1}{2} -\dfrac{3}{28} \] \[ 7(3x - 5) + 4(17 - x) > 18 - \dfrac{5(2x - 6)}{2} \quad\Rightarrow\quad x > 0 \] Ответ: $- \dfrac{3}{28} < x \leq 0$.
   
   
4. Оценки весов щитов и мечей: \[ \begin{cases} 2s > 3m &\text{(Иван)} \\ 3s \leq 4m &\text{(Федя ошибается)} \\ 12s \stackrel{?}{>} 18m &\Rightarrow \text{Нет} \end{cases} \] Ответ: Нет.
   
   
5. Каждый отрезанный треугольник добавляет периметр: \[ P_{\text{исх}} = 2 + 5 + 7 = 14 \] Ответ: 14.