Новая школа из 8 в 9 класс 2018 год вариант 1

Новая Школа

2018 год

1. Вычислите, в ответ запишите результат вычисления: а) \( \left(-\frac{11}{12} + \frac{11}{20}\right) \cdot 1\frac{7}{8} \) б) \( \sqrt{76.53} - 76.52 \cdot 67.5 - 76.5 \cdot 67.52 + 67.53 \)
   
   
2. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что произведение первого и третьего из этих чисел на 31 меньше произведения второго и четвёртого.
   
   
3. В семье 5 человек. Если Даше и Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастёт на $20\%$. Если вместо этого маме удвоят зарплату — на $25\%$, а папе — на $35\%$. На сколько процентов возрастёт доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
   
   
4. Решите уравнения, в ответ запишите корни: а) \[ \frac{5}{\left( \frac{3}{2} - \frac{2}{3} \right)} x = \frac{7}{\left( \frac{4}{3} - \frac{3}{4} \right)} = \frac{9}{\left( \frac{5}{4} - \frac{4}{5} \right)} \] б) \[ 3(x + 2) - x(x - 7) = 10(x - 3) \]
   
   
5. Решите задачи: а) Руда содержит $40\%$ примесей, а выплавляемый из неё металл — $4\%$. Сколько металла будет выплавлено из 24 т руды?
   
   б) Туристы прошли 10 км по шоссе со скоростью 6 км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени затратили туристы на весь путь, если по просёлочной дороге они шли на 2 км/ч медленнее, чем по шоссе?
   
   
6. Пусть \( \frac{3b - a}{b - 2a} = 4 \). Найдите значение выражения: \[ \frac{2a^2 - 3ab + 2b^2}{2a^2 - ab} \]
   
   
7. Периметр четырёхугольника равен 118. Одна из его диагоналей делит четырёхугольник на два треугольника с периметрами 77 и 83. Чему равна эта диагональ?
   
   
8. Постройте график уравнения: \[ x^2 + x - xy - y = 0 \]

Часть 2. Запишите подробное решение каждой задачи. Ответы без решений не оцениваются.

1. [start=9]
2. Интервалы движения городских автобусов по трём маршрутам составляют 15, 20 и 24 мин соответственно. Сколько раз в день с 7:55 до 17:05 на общей остановке одновременно встречаются автобусы всех трёх маршрутов, если одна такая встреча произошла в 12:35?
   
   
3. Восемь кузнецов должны подковать 10 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу (лошадь не может стоять на двух ногах)? А если кузнецов 48, а лошадей 60?
   
   
4. Девять одинаковых авторучек стоят 11 рублей с копейками, 13 таких же — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна авторучка?
   
   
5. Известно, что квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) не имеет корней и при этом \( a + b + c > 0 \). Определите знак коэффициента \( c \).
   
   
6. Верно ли, что если стороны \( AB, AC \) и высота \( AH \) треугольника \( ABC \) равны соответственно сторонам \( A_1B_1, A_1C_1 \) и высоте \( A_1H_1 \) треугольника \( A_1B_1C_1 \), то треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) равны?

Решения задач

1. 1. Вычислите: \( \left(-\frac{11}{12} + \frac{11}{20}\right) \cdot 1\frac{7}{8} \).
      Решение:
      Приведём дроби к общему знаменателю (60):
      \(-\frac{11}{12} = -\frac{55}{60}\), \(\frac{11}{20} = \frac{33}{60}\)
      Сумма: \(-\frac{55}{60} + \frac{33}{60} = -\frac{22}{60} = -\frac{11}{30}\)
      Умножение на \(1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}\):
      \(-\frac{11}{30} \cdot \frac{15}{8} = -\frac{11 \cdot 15}{30 \cdot 8} = -\frac{11}{16}\)
      Ответ: \(-\frac{11}{16}\).
   2. Вычислите: \( \sqrt{76.5^3} - 76.5^2 \cdot 67.5 - 76.5 \cdot 67.5^2 + 67.5^3 \).
      Решение:
      Используем формулу разности кубов:
      \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = 76.5\), \(b = 67.5\)
      Вычисляем \(a - b = 9\), тогда:
      \(9 \cdot (76.5^2 + 76.5 \cdot 67.5 + 67.5^2) = 9 \cdot 14400 = 129600\)
      Ответ: 129600.
2. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если произведение первого и третьего на 31 меньше произведения второго и четвёртого.
   Решение:
   Пусть числа: \(n\), \(n+1\), \(n+2\), \(n+3\).
   Уравнение: \(n(n+2) + 31 = (n+1)(n+3)\)
   Раскроем скобки:
   \(n^2 + 2n + 31 = n^2 + 4n + 3\)
   Упростим: \(2n = 28 \Rightarrow n = 14\)
   Числа: 14, 15, 16, 17.
   Ответ: 14, 15, 16, 17.
3. В семье 5 человек. Если Даше и Маше удвоят стипендию, общий доход семьи возрастёт на 20\%. Если маме удвоят зарплату — на 25\%, а папе — на 35\%. На сколько процентов возрастёт доход семьи, если дедушке удвоят пенсию?
   Решение:
   Пусть суммарный доход — \(S\). Тогда:
   \(Д + М = 0,2S\), \(Ма = 0,25S\), \(П = 0,35S\)
   Доход дедушки: \(Дед = S - 0,2S - 0,25S - 0,35S = 0,2S\)
   Удвоение пенсии деда: \(2 \cdot 0,2S = 0,4S\), прирост составит \(0,2S\).
   Процентный прирост: \(\frac{0,2S}{S} \cdot 100% = 20\%\)
   Ответ: 20\%.
4. 1. Решите уравнение: \[ \frac{5}{\frac{3}{2} - \frac{2}{3}} x = \frac{7}{\frac{4}{3} - \frac{3}{4}} \]
      Решение:
      Вычислим знаменатели:
      \(\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}\), \(\frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{7}{12}\)
      Уравнение: \(\frac{5}{\frac{5}{6}} x = \frac{7}{\frac{7}{12}}\)
      Упростим: \(6x = 12 \Rightarrow x = 2\)
      Ответ: \(x = 2\).
   2. Решите уравнение: \(3(x + 2) - x(x - 7) = 10(x - 3)\).
      Решение:
      Раскроем скобки: \(3x + 6 - x^2 + 7x = 10x - 30\)
      Соберём все члены: \(-x^2 + 10x + 6 = 10x - 30\)
      Упростим: \(-x^2 + 36 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm6\)
      Ответ: \(x = 6\), \(x = -6\).
5. 1. Сколько металла будет выплавлено из 24 т руды?
      Решение:
      Масса чистого металла в руде: \(24 \cdot 0,6 = 14,4\) т.
      После плавки примеси составляют 4\%, значит чистый металл — 96\%:
      \(14,4 : 0,96 = 15\) т.
      Ответ: 15 т.
   2. Сколько времени затратили туристы на весь путь?
      Решение:
      По шоссе: \(\frac{10}{6} = 1\frac{2}{3}\) ч = 1 ч 40 мин.
      По просёлку: \(\frac{20}{4} = 5\) ч.
      Общее время: \(1\frac{2}{3} + 5 = 6\frac{2}{3}\) ч = 6 ч 40 мин.
      Ответ: 6 ч 40 мин.
6. Найдите значение выражения: \[ \frac{2a^2 - 3ab + 2b^2}{2a^2 - ab} \quad \text{при} \quad \frac{3b - a}{b - 2a} = 4. \] Решение:
   Из условия: \(3b - a = 4(b - 2a) \Rightarrow 3b - a = 4b - 8a \Rightarrow 7a = b\).
   Подставим \(b = 7a\) в выражение:
   Числитель: \(2a^2 - 21a^2 + 98a^2 = 79a^2\)
   Знаменатель: \(2a^2 - 7a^2 = -5a^2\)
   Результат: \(\frac{79a^2}{-5a^2} = -\frac{79}{5} = -15,8\)
   Ответ: \(-15,8\).
7. Чему равна диагональ четырёхугольника?
   Решение:
   Сумма периметров треугольников: \(77 + 83 = 160\)
   Сумма \(AB + BC + CD + DA + 2AC = 160\)
   Периметр четырёхугольника: \(118 + 2AC = 160 \Rightarrow AC = 21\)
   Ответ: 21.
8. Постройте график уравнения: \(x^2 + x - xy - y = 0\).
   Решение:
   Факторизуем уравнение: \((x + 1)(x - y) = 0\)
   График состоит из двух прямых: \(x = -1\) и \(y = x\)
   Ответ: совпадение прямых \(x = -1\) и \(y = x\).
9. Сколько раз встречаются автобусы?
   Решение:
   Найдите НОК интервалов 15, 20, 24.
   НОМ(15,20,24)=120. Интервал встреч — 120 мин = 2 ч.
   Временной промежуток с 12:35 до 17:05: 4 ч 30 мин → 2 встречи.
   Всего встреч за день: с 7:55 до 17:05 — 9 ч 10 мин = 550 мин → 4 встречи после 12:35.
   Ответ: 5 раз.
10. Наименьшее время подковы лошадей.
    Решение:
    Каждая лошадь требует 4 подковы. Общее количество подков: \(10 \cdot 4 = 40\).
    8 кузнецов за 5 минут делают 8 подков → 40 подков за \( \frac{40}{8/5} = 25\) мин.
    Для 48 кузнецов и 60 лошадей: \(60 \cdot 4 = 240\) подков → \(240/ (48/5) = 25\) мин.
    Ответ: 25 мин; 25 мин.
11. Стоимость авторучки.
    Решение:
    Пусть цена ручки \(x\) копеек. Тогда:
    \(900 \leq 9x < 1100\) и \(1300 \leq 13x < 1500\)
    Из первого: \(100 \leq x < 122,2\). Из второго: \(100 \leq x < 115,4\).
    Общее решение: \(x\) — целое число, \(112\) коп. (1,12 руб.)
    Ответ: 1 руб. 12 коп.
12. Знак коэффициента \(c\).
    Решение:
    Уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) не имеет корней → дискриминант \(b^2 - 4ac 0\). При \(x = 1\): \(a + b + c > 0\). Так как ветви параболы направлены вверх (a >0) или вниз (a 0\).
    Ответ: \(c > 0\).
13. Верно ли, что треугольники равны?
    Решение:
    Равенство двух сторон и высоты не гарантирует равенство треугольников (пример: стороны \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), высота \(AH = A_1H_1\), но высота проведена к разным основаниям).
    Ответ: Нет, не верно.