8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Новая школа из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

Новая Школа

2021 год



  1. Вычислите:
    1. \( \sqrt{0{,}4} - \sqrt{\frac{25}{36}} \cdot 6 \sqrt{0{,}09} - 1{,}75 : (-7{,}2) \)
    2. \( 1{,}60 + (-3) \cdot (-1{,}6)^2 \)


  2. Решите уравнения:
    1. \( 0{,}9x - 0{,}6(x - 3) = 2(0{,}2x - 1{,}3) \)
    2. \( \frac{(2x)^2 - 5x}{x + 1} + \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 2{,}5 \)
    3. \( x^3 + 12x^2 + 36x = 0 \)


  3. Известно, что \( 8a^2b^3 = k \). Найдите значение выражения \( 100a^{-2}b^{-3} \), если \( k = 1{,}1 \).

  4. Упростите и вычислите при \( x = \frac{1}{2} \): \[ (x - 3)^2 + (x + 2)^2 - 2x^2 \]

  5. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку \( A(3;2) \) и параллелен прямой \( y = 4x + 7 \).

  6. Найдите координаты точки пересечения прямых: \[ y = 3x - 5 \quad \text{и} \quad y = x + 25 \]

  7. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника составляет 20% градусной меры смежного с ним угла. Найдите углы этого треугольника.


Часть 2. Требуется записать подробное решение каждой задачи.

  1. [start=8]
  2. Содержание соли в морской воде составляет 5\%. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в полученном растворе составило 3\%?

  3. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 64, а разность самих чисел равна 2. Найдите эти числа.

  4. При каких значениях \( a \) система уравнений имеет более одного решения: \[ \begin{cases} x - ay = 1 \\ 3x - 6y = 2a \end{cases} \]

  5. Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 92 км. За 5 часов по течению он проходит на 10 км больше, чем за 6 часов против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.

  6. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найдите углы треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите:
    1. \( \sqrt{0{,}4} - \sqrt{\frac{25}{36}} \cdot 6 \sqrt{0{,}09} - 1{,}75 : (-7{,}2) \)
      Решение:
      \(\sqrt{0{,}4} = \sqrt{\frac{2}{5}}\); \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}\); \( \sqrt{0{,}09} = 0{,}3\).
      Второе слагаемое: \(\frac{5}{6} \cdot 6 \cdot 0{,}3 = 5 \cdot 0{,}3 = 1{,}5\).
      Третье слагаемое: \(1{,}75 : (-7{,}2) = -\frac{35}{144}\).
      Подставляем: \[ \sqrt{\frac{2}{5}} - 1{,}5 - \left(-\frac{35}{144}\right) = \sqrt{\frac{2}{5}} - 1{,}5 + \frac{35}{144} \]
      Преобразуем численно: \[ 0{,}632 - 1{,}5 + 0{,}243 = -0{,}625 = -\frac{5}{8} \] Ответ: \(-\frac{5}{8}\).
    2. \( 1{,}60 + (-3) \cdot (-1{,}6)^2 \)
      Решение: \[ (-1{,}6)^2 = 2{,}56; \quad (-3) \cdot 2{,}56 = -7{,}68 \] \[ 1{,}6 + (-7{,}68) = -6{,}08 \] Ответ: \(-6{,}08\).


  2. Решите уравнения:
    1. \( 0{,}9x - 0{,}6(x - 3) = 2(0{,}2x - 1{,}3) \)
      Решение: \[ 0{,}9x - 0{,}6x + 1{,}8 = 0{,}4x - 2{,}6 \] \[ 0{,}3x + 1{,}8 = 0{,}4x - 2{,}6 \quad \Rightarrow \quad 0{,}1x = 4{,}4 \quad \Rightarrow \quad x = 44 \] Ответ: \(44\).
    2. \( \frac{(2x)^2 - 5x}{x + 1} + \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 2{,}5 \)
      Решение: \[ \frac{4x^2 - 5x}{x + 1} + \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{5}{2} \] После приведения к общему знаменателю \((x + 1)(x - 1)\) получается уравнение кубической степени \(8x^3 -21x^2 +10x -3=0\). Подбор рациональных корней показывает отсутствие целых решений. Ответ: Уравнение не имеет рациональных корней и требует численного решения.
    3. \( x^3 + 12x^2 + 36x = 0 \)
      Решение: \[ x(x^2 + 12x + 36) = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x + 6)^2 = 0 \] Ответ: \(x = 0\); \(x = -6\) (двойной корень).


  3. Известно, что \(8a^2b^3 = k\), \(k = 1{,}1\). Найдите \(100a^{-2}b^{-3}\).
    Решение: \[ a^2b^3 = \frac{k}{8} = \frac{11}{80} \quad \Rightarrow \quad 100a^{-2}b^{-3} = \frac{100 \cdot 80}{11} = \frac{8000}{11} \] Ответ: \(\frac{8000}{11}\).
  4. Упростите и вычислите при \(x = \frac{1}{2}\): \[ (x - 3)^2 + (x + 2)^2 - 2x^2 = -2x + 13 \] Подставляем \(x = \frac{1}{2}\): \[ -2 \cdot \frac{1}{2} + 13 = -1 + 13 = 12 \] Ответ: \(12\).
  5. График линейной функции проходит через \(A(3; 2)\) и параллелен \(y = 4x + 7\).
    Решение:
    Искомая функция: \(y = 4x + b\): \[ 2 = 4 \cdot 3 + b \quad \Rightarrow \quad b = -10 \] Ответ: \(y = 4x - 10\).
  6. Точка пересечения прямых \(y = 3x - 5\) и \(y = x + 25\):
    Решение: \[ 3x - 5 = x + 25 \quad \Rightarrow \quad 2x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \] \[ y = 3 \cdot 15 - 5 = 40 \quad \Rightarrow \quad (15; 40) \] Ответ: \((15; 40)\).
  7. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника составляет 20% смежного угла.
    Решение:
    Пусть угол при основании \(\alpha\), смежный угол \(180^\circ - \alpha\): \[ \alpha = 0{,}2 \cdot (180^\circ - \alpha) \quad \Rightarrow \quad \alpha = 30^\circ \] Ответ: Углы \(30^\circ\), \(30^\circ\), \(120^\circ\).


  1. [start=8]
  2. Добавление пресной воды к морской:
    Решение:
    Количество соли: \(30 \cdot 0{,}05 = 1{,}5\) кг. \[ \frac{1{,}5}{30 + x} = 0{,}03 \quad \Rightarrow \quad 30 + x = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \text{ кг} \] Ответ: \(20\) кг.
  3. Разность квадратов чисел равна \(64\), разность чисел \(2\):
    Решение:
    Пусть числа \(x\) и \(y\), \(x > y\): \[ x - y = 2, \quad x + y = 32 \quad \Rightarrow \quad x = 17, y = 15 \] Ответ: \(17\) и \(15\).
  4. Система имеет более одного решения: \[ \begin{cases} x - ay = 1 \\ 3x - 6y = 2a \end{cases} \] Решение:
    Для совпадения прямых коэффициенты должны быть пропорциональны: \[ \frac{1}{3} = \frac{-a}{-6} = \frac{1}{2a} \quad \Rightarrow \quad \text{Нет таких } a. \] Ответ: Нет решения.
  5. Нахождение скорости катера и течения:
    Решение:
    Пусть \(v\) — скорость катера, \(u\) — течения: \[ \begin{cases} 3(v + u) + 5(v - u) = 92 \\ 5(v + u) - 6(v - u) = 10 \end{cases} \] Решение системы: \(v = 12\) км/ч, \(u = 2\) км/ч. Ответ: \(12\) км/ч, \(2\) км/ч.
  6. Углы в равнобедренном треугольнике:
    Решение:
    Угол при основании \(\alpha\), биссектриса делит его на угол \(\alpha\) и угол между биссектрисой и боковой стороной равен \(\alpha\). Решением являются углы \(36^\circ\), \(36^\circ\), \(108^\circ\). Ответ: \(36^\circ\), \(36^\circ\), \(108^\circ\).
Материалы школы Юайти