Новая школа из 7 в 8 класс 2018 год вариант 1

Новая Школа

2018 год

1. Вычислите, в ответ запишите результат вычисления: \[ \left(1\frac{1}{4} - 14{,}05\right) \div 0{,}04 - 13{,}8 \div \frac{1}{13} \]
   
   
2. Решите уравнение, в ответ запишите корень: \[ 5 - \frac{1 - 2a}{4} = \frac{3a + 20}{6} + \frac{a}{3} \]
   
   
3. Упростите: \[ (3x - 1)^2 - (4x^2 + 5x - 5) + (4 + 7x)(x - 2) \]
   
   
4. Найдите значение выражения: \[ \frac{a^5(a^4)^3}{a^{11}} \quad \text{при } a = 2 \]
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(60^\circ\), внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\). \(AM\) — высота, проведённая к стороне \(BC\). Найдите угол \(B\) и сторону \(AB\), если отрезок \(MC = 15\).
   
   
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 5 - 4y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \end{cases} \]
   
   
7. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2{,}4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1{,}5 км/ч?
   
   
8. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки с координатами \( (4;\ -4) \) и \( (-1;\ 1) \).

Часть 2. Запишите подробное решение каждой задачи. Ответы без решений не оцениваются.

1. [start=9]
2. Сколько существует четырёхзначных чисел, в запись которых входят только цифры 1, 2, 3, причём все три цифры задействованы?
   
   
3. Пусть \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1 \cdot x_2 = 2 \). Найдите \( x_1^3 + x_2^3 \).
   
   
4. Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься, стоя на этом эскалаторе неподвижно?
   
   
5. В Цветочном городе кроме обычных арифметических операций существует операция \( \ast \), которая действует следующим образом: \( a \ast b \) означает «прибавить \( ab \) к \( b \) и вычесть \( a \)». Например: \( 2 \ast 3 = 7 \), \( 5 \ast 3 = 13 \).
   • [а)] Вычислите: \( 4 \ast 5 \), \( \frac{1}{5} \ast \frac{1}{2} \), \( a \ast 2 \), \( a \ast a \).
   • [б)] Докажите, что \( \frac{1}{2}(a \ast b + b \ast a) = ab \).
   
   
   
6. На сторонах \(BC\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) построены внешним образом правильные треугольники \(BCK\) и \(DCL\). Докажите, что треугольник \(AKL\) — правильный.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \left(1\frac{1}{4} - 14{,}05\right) \div 0{,}04 - 13{,}8 \div \frac{1}{13} \] Решение:
   $1\frac{1}{4} = 1{,}25$
   $1{,}25 - 14{,}05 = -12{,}8$
   $-12{,}8 \div 0{,}04 = -320$
   $13{,}8 \div \frac{1}{13} = 13{,}8 \cdot 13 = 179{,}4$
   $-320 - 179{,}4 = -499{,}4$
   Ответ: $-499{,}4$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 5 - \frac{1 - 2a}{4} = \frac{3a + 20}{6} + \frac{a}{3} \] Решение:
   Умножим обе части на 12 (НОК 4,6,3):
   $12 \cdot 5 - 3(1 - 2a) = 2(3a + 20) + 4a$
   $60 - 3 + 6a = 6a + 40 + 4a$
   $57 + 6a = 10a + 40$
   $57 - 40 = 4a$
   $17 = 4a$
   $a = \frac{17}{4} = 4{,}25$
   Ответ: $4{,}25$.
   
   
3. Упростите: \[ (3x - 1)^2 - (4x^2 + 5x - 5) + (4 + 7x)(x - 2) \] Решение:
   $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$
   $-4x^2 - 5x + 5$
   $(4 + 7x)(x - 2) = 4x - 8 + 7x^2 - 14x = 7x^2 - 10x - 8$
   Суммируем:
   $9x^2 -6x +1 -4x^2 -5x +5 +7x^2 -10x -8 = 12x^2 -21x -2$
   Ответ: $12x^2 -21x -2$.
   
   
4. Найдите значение выражения: \[ \frac{a^5(a^4)^3}{a^{11}} \quad \text{при } a = 2 \] Решение:
   $\frac{a^5 \cdot a^{12}}{a^{11}} = \frac{a^{17}}{a^{11}} = a^6$
   При $a = 2$: $2^6 = 64$
   Ответ: $64$.
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) угол \(C = 60^\circ\), внешний угол при вершине \(A = 120^\circ\), \(MC = 15\).
   Решение:
   Внутренний угол $A = 60^\circ$, сумма углов треугольника:
   $\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
   Треугольник равносторонний $\Rightarrow BC = AB = AC = 30$ (т.к. $MC = 15$ — половина стороны).
   Ответ: $\angle B = 60^\circ$, $AB = 30$.
   
   
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 5 - 4y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \end{cases} \] Решение:
   Из первого уравнения: $x = \frac{5 - 4y}{2}$
   Подставим во второе:
   $3 \cdot \frac{5 - 4y}{2} + 2y = 1$
   $15 - 12y + 4y = 2$
   $-8y = -13 \Rightarrow y = \frac{13}{8} = 1{,}625$
   $x = \frac{5 - 4 \cdot 13/8}{2} = -\frac{3}{4}$
   Ответ: $x = -0{,}75$, $y = 1{,}625$.
   
   
7. Скорость катера в стоячей воде:
   Решение:
   Пусть $x$ — скорость катера. Уравнение:
   $4(x + 1{,}5) = 2{,}4 \cdot 2(x - 1{,}5)$
   $4x + 6 = 4{,}8x - 7{,}2$
   $13{,}2 = 0{,}8x \Rightarrow x = 16{,}5$
   Ответ: $16{,}5$ км/ч.
   
   
8. Уравнение прямой через точки $(4; -4)$ и $(-1; 1)$:
   Решение:
   Наклон: $k = \frac{1 - (-4)}{-1 - 4} = \frac{5}{-5} = -1$
   Формула: $y - (-4) = -1(x - 4) \Rightarrow y = -x$
   Ответ: $y = -x$.
   
   
9. Сколько четырёхзначных чисел с цифрами 1,2,3, где все три цифры задействованы:
   Решение:
   Одна цифра повторяется дважды, остальные — однократно.
   Варианты выбора повторяющейся цифры: 3.
   Количество перестановок: $\frac{4!}{2!} = 12$.
   Всего чисел: $3 \cdot 12 = 36$.
   Ответ: $36$.
   
   
10. Найдите $x_1^3 + x_2^3$ при $x_1 + x_2 = 7$, $x_1x_2 = 2$:
    Решение:
    $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 7^3 - 3 \cdot 2 \cdot 7 = 343 - 42 = 301$
    Ответ: $301$.
    
    
11. Время спуска на эскалаторе:
    Решение:
    Пусть $L$ — длина эскалатора, $v$ — скорость эскалатора, $u$ — скорость человека.
    Система:
    $\frac{L}{u + v} = 60$, $\frac{L}{2u + v} = 45$
    Решение: $v = 2u$, подставляем в $L = 180u$
    Время при неподвижном человеке: $\frac{180u}{2u} = 90$ сек.
    Ответ: $90$ сек.
    
    
12. Операция $\ast$:
    а) $4 \ast 5 = 4 \cdot 5 + 5 - 4 = 21$.
    $\frac{1}{5} \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
    $a \ast 2 = 2a + 2 - a = a + 2$
    $a \ast a = a^2 + a - a = a^2$
    б) $\frac{1}{2}(a \ast b + b \ast a) = \frac{1}{2}(ab + b - a + ba + a - b) = \frac{1}{2}(2ab) = ab$.
    
    
13. Правильность треугольника $AKL$:
    Решение:
    Используя поворот на $60^\circ$ вокруг точки $A$, можно показать, что $\triangle ABK \cong \triangle ADL$, значит, стороны $AK = AL$. Аналогично, угол $KAL = 60^\circ$, поэтому $\triangle AKL$ — правильный.
    Ответ: Доказано.