Могилёвский Лицей №1 из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1

2016 год

Вариант 1

1. Известно, что \(a^6 < a^5\). Тогда число \(a\) может быть равно \[ -5,\quad \tfrac{1}{5},\quad 5,\quad \sqrt{5},\quad -\tfrac{1}{5}. \]
2. На какой угол повернётся минутная стрелка часов за 10 минут?
3. Найдите величину угла \(x\), если \(O\) — центр окружности.
   
4. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x - 2 > 0,\\ 5 - x < 0. \end{cases} \]
5. В равнобедренную трапецию с боковой стороной \(16\) см вписана окружность радиусом \(5\) см. Найдите площадь трапеции.
6. Постройте график функции \[ y = x^2 - 4x + 3. \] С помощью графика найдите:
   1. значения аргумента \(x\), при которых \(y<0\);
   2. промежуток возрастания функции;
   3. уравнение оси симметрии параболы.
7. Некоторое двузначное число на 9 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 180 больше квадрата его цифры единиц. Найдите это число.
8. В треугольнике \(ABC\) площадь равна \(36\) см\(^2\). На стороне \(BC\) взята точка \(M\), на стороне \(AC\) — точка \(K\) так, что \(BM:MC = 1:2\) и \(AK = KC\). Найдите площадь четырёхугольника \(ABMK\).
9. Влажность сырого льна равна 45%, а после просушки оказалась 12%. На сколько процентов изменилась масса льна после просушки?
10. Упростите выражение \[ \sqrt{x - 6\sqrt{x - 9}} \;+\; \sqrt{x + 6\sqrt{x - 9}} \quad\text{при }x > 18. \]

Решения задач

1. Известно, что \(a^6 < a^5\). Тогда число \(a\) может быть равно
   Решение: Для \(a > 1\) или \(a < 0\) неравенство \(a^6 < a^5\) не выполняется. При \(0 < a < 1\) степень снижает значение. Из предложенных чисел условию удовлетворяет \(\frac{1}{5}\).
   Ответ: \(\frac{1}{5}\).
2. На какой угол повернётся минутная стрелка часов за 10 минут?
   Решение: За 60 минут стрелка совершает полный оборот \(360^\circ\). За 1 минуту: \(6^\circ\). За 10 минут: \(10 \cdot 6^\circ = 60^\circ\).
   Ответ: \(60^\circ\).
3. Найдите величину угла \(x\), если \(O\) — центр окружности.
   Решение: Центральный угол, соответствующий дуге \(120^\circ\), равен \(120^\circ\). Вписанный угол \(x\) опирается на ту же дугу и равен половине центрального: \(x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\).
   Ответ: \(60^\circ\).
4. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x - 2 > 0,\\ 5 - x < 0. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство: \(x > 2\). Второе: \(x > 5\). Общее решение: \(x > 5\).
   Ответ: \(x \in (5; +\infty)\).
5. В равнобедренную трапецию с боковой стороной \(16\) см вписана окружность радиусом \(5\) см. Найдите площадь трапеции.
   Решение: Сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(2 \cdot 16 = 32\) см. Высота равна \(2r = 10\) см. Площадь: \(\frac{32}{2} \cdot 10 = 160\) см\(^2\).
   Ответ: \(160\) см\(^2\).
6. Постройте график функции \(y = x^2 - 4x + 3\).
   Решение:
   1. Точки пересечения с осью \(x\): \(x=1\) и \(x=3\). Вершина параболы: \((2; -1)\).
   2. \(y < 0\) при \(x \in (1; 3)\).
   3. Функция возрастает при \(x > 2\).
   4. Ось симметрии: \(x = 2\).
   Ответы:
   1. \(x \in (1; 3)\)
   2. \((2; +\infty)\)
   3. \(x = 2\)
7. Некоторое двузначное число на 9 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 180 больше квадрата его цифры единиц. Найдите это число.
   Решение: Пусть число \(10a + b\). Из условий: \[ \begin{cases} 10a + b = a + b + 9, \\ (10a + b)^2 = b^2 + 180. \end{cases} \] Решение: \(a=1\), \(b=4\). Ответ: \(14\).
8. В треугольнике \(ABC\) площадь равна \(36\) см\(^2\). На стороне \(BC\) взята точка \(M\), на стороне \(AC\) — точка \(K\) так, что \(BM:MC = 1:2\) и \(AK = KC\). Найдите площадь четырёхугольника \(ABMK\).
   Решение: Площадь \(ABM\): \(\frac{1}{3} \cdot 36 = 12\) см\(^2\). Площадь \(AMK\): \(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 36 = 12\)\,см\(^2\). Сумма: \(12 + 12 = 24\) см\(^2\).
   Ответ: \(24\) см\(^2\).
9. Влажность сырого льна равна \(45\%\), а после просушки — \(12\%\). На сколько процентов изменилась масса льна после просушки?
   Решение: Пусть начальная масса \(m_1\). Сухая часть: \(0.55m_1\). После сушки: \(0.88m_2 = 0.55m_1 \Rightarrow m_2 = \frac{5}{8}m_1\). Уменьшение массы: \(\frac{3}{8} = 37.5\%\).
   Ответ: Уменьшилась на \(37.5\%\).
10. Упростите выражение \[ \sqrt{x - 6\sqrt{x - 9}} + \sqrt{x + 6\sqrt{x - 9}} \quad \text{при } x > 18. \]
    Решение: Пусть \(t = \sqrt{x - 9}\). Тогда: \[ \sqrt{t^2 - 6t + 9} + \sqrt{t^2 + 6t + 9} = |t - 3| + |t + 3| = 2t \quad (t > 3). \] Ответ: \(2\sqrt{x - 9}\).