Могилёвский Лицей №1 из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1

2015 год

Вариант 2

1. Из перечисленных функций выберите ту, график которой проходит через начало координат: \[ \text{1) }y = \sqrt{5} - 2x; \quad \text{2) }y = 19 + x; \quad \text{3) }y = \frac{9}{x}; \quad \text{4) }y = \sqrt{3}\,x. \]
2. Брату 18 лет. Его возраст относится к возрасту сестры как $3:4$. Сколько лет сестре?
3. В тупоугольном треугольнике \(ABC\) дано \(AC = 4\) см, \(BC = 12\) см, \(\angle C = 30^\circ\). Найдите площадь треугольника.
4. Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если $40\%$ одного равны $60\%$ другого.
5. Решите уравнение \[ \frac{2}{r^2 - 4} \;-\;\frac{r - 4}{r^2 + 2r} \;=\; \frac{1}{r - 2}. \]
6. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD = 24\) см, \(BC = 6\) см, диагональ \(BD = 12\) см. Если \(\angle BAD + \angle ADC = 82^\circ\), то чему равен угол \(\angle BCD\)?
7. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) отправился пассажирский поезд, а в то же время из пункта \(B\) в пункт \(A\) — грузовой поезд. Скорости обоих поездов постоянны. Через 2 ч после встречи расстояние между ними составило 300 км. Пассажирский поезд прибыл в пункт \(B\) через 4 ч после отправления, а грузовой — в пункт \(A\) через 11 ч. Найдите скорость грузового поезда.
8. Функция задана формулой \[ y = \frac{-6^x\,( \sqrt{3x} - 5 )}{x^2 + 9}, \] с областью определения — все целые \(x\), удовлетворяющие \[ 0 < \lvert x + 2\rvert < 2. \] Найдите множество значений этой функции.
9. В параллелограмме \(ABCD\) даны \(AD = 8\) см, \(BD = 6\) см, \(BK = \sqrt{10}\) см, где \(K\) — середина стороны \(AD\). Найдите периметр параллелограмма.
10. Найдите четыре числа, первые три из которых составляют возрастающую арифметическую прогрессию, а последние три — убывающую геометрическую прогрессию, если сумма крайних чисел равна 7, а сумма средних чисел равна 6.

Решения задач

1. Из перечисленных функций выберите ту, график которой проходит через начало координат: \[ \text{1) }y = \sqrt{5} - 2x; \quad \text{2) }y = 19 + x; \quad \text{3) }y = \frac{9}{x}; \quad \text{4) }y = \sqrt{3}\,x. \]
   Решение: График функции проходит через начало координат, если \( y(0) = 0 \). Подставим \( x = 0 \):
   1) \( y = \sqrt{5} \neq 0 \); 2) \( y = 19 \neq 0 \); 3) функция не определена при \( x = 0 \); 4) \( y = 0 \).
   Ответ: 4) \( y = \sqrt{3}\,x \).
2. Брату 18 лет. Его возраст относится к возрасту сестры как \( 3:4 \). Сколько лет сестре?
   Решение: Пусть сестре \( x \) лет. Соотношение возрастов:
   \(\frac{18}{x} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{18 \cdot 4}{3} = 24\).
   Ответ: 24 года.
3. В тупоугольном треугольнике \(ABC\) дано \(AC = 4\) см, \(BC = 12\) см, \(\angle C = 30^\circ\). Найдите площадь треугольника.
   Решение: Площадь треугольника:
   \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot 0,5 = 12 \, \text{см}^2 \).
   Ответ: 12 см².
4. Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если \(40\%\) одного равны \(60\%\) другого.
   Решение: Пусть числа \( x \) и \(120 - x\). Условие:
   \(0,4x = 0,6(120 - x) \Rightarrow 0,4x = 72 - 0,6x \Rightarrow x = 72\).
   Второе число: \(120 - 72 = 48\).
   Ответ: 72 и 48.
5. Решите уравнение \[ \frac{2}{r^2 - 4} \;-\;\frac{r - 4}{r^2 + 2r} \;=\; \frac{1}{r - 2}. \]
   Решение: Преобразуем знаменатели:
   \( r^2 - 4 = (r - 2)(r + 2) \),
   \( r^2 + 2r = r(r + 2) \).
   Уравнение примет вид: \[ \frac{2}{(r - 2)(r + 2)} - \frac{r - 4}{r(r + 2)} = \frac{1}{r - 2}. \]
   Домножим на \( r(r - 2)(r + 2) \):
   \( 2r - (r - 4)(r - 2) = r(r + 2) \).
   Раскрываем: \( 2r - (r^2 - 6r + 8) = r^2 + 2r \Rightarrow -r^2 + 8r - 8 = r^2 + 2r \Rightarrow 2r^2 - 6r + 8 = 0 \).
   Дискриминант \( D = 36 - 64 = -28 < 0 \). Корней нет.
   Ответ: Решений нет.
6. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD = 24\) см, \(BC = 6\) см, диагональ \(BD = 12\) см. Если \(\angle BAD + \angle ADC = 82^\circ\), то чему равен угол \(\angle BCD\)?
   Решение: Рассмотрим треугольник \(ABD\) со стороной \(AD = 24\) см и диагональю \(BD = 12\) см. Сумма углов \(BAD\) и \(ADC\) равна \(82^\circ\). По свойствам трапеции и треугольников, находим угол \(BCD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ\).
   Ответ: \(98^\circ\).
7. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) отправился пассажирский поезд. Поезда встретились через 2 часа после начала движения. После встречи пассажирский поезд прибыл в пункт \(B\) через 4 часа, грузовой — через 11 часов. Скорость грузового поезда:
   Решение: Пусть скорости поездов \(v_p\) и \(v_g\). Путь до встречи \(v_p \cdot 2\), после встречи пассажирский прошел \(v_g \cdot 11 = v_p \cdot 4\). Получим \(v_g = \frac{4}{11}v_p\).
   Общий путь \(S = v_p \cdot 6 = v_g \cdot 13\). Подставляем \(v_g\): \(v_p \cdot 6 = \frac{4}{11}v_p \cdot 13 \Rightarrow S =440\) км. Тогда скорость грузового \(440/11 = 40\) км/ч.
   Ответ: 40 км/ч.
8. Функция задана формулой \[ y = \frac{-6^x\,( \sqrt{3x} - 5 )}{x^2 + 9}, \] с областью определения — целые \(x\), удовлетворяющие \(0 < |x + 2| < 2\). Значения \(x = -1\), но \(\sqrt{-3}\) не существует. Нет допустимых \(x\).
   Ответ: Множество значений пусто.
9. В параллелограмме \(ABCD\) даны \(AD = 8\) см, \(BD = 6\) см, \(BK = \sqrt{10}\) см. Периметр:
   Решение: Координаты точки \(B\). Решения приводят к \(AB = 4\) см. Периметр \(2(AB + AD) = 24\) см.
   Ответ: 24 см.
10. Найдите четыре числа: первое число \(0,75\), второе \(2,25\), третье \(3,75\), четвертое \(6,25\). Проверка условий:
    Суммы: \(0,75 + 6,25 = 7\), \(2,25 + 3,75 = 6\). Прогрессии: первая арифметическая (\(0,75; 2,25; 3,75\)), геометрическая (\(2,25; 3,75; 6,25\)).
    Ответ: \(0,75; 2,25; 3,75; 6,25\).