Могилёвский Лицей №1 из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1

2015 год

Вариант 1

1. Из перечисленных функций выберите ту, график которой проходит через начало координат: \[ \text{1) }y = 5 - x;\quad \text{2) }y = 19x - \sqrt{7};\quad \text{3) }y = \frac{6}{x};\quad \text{4) }y = -\sqrt{2}\,x. \]
2. Сыну 20 лет. Его возраст относится к возрасту отца как $4:9$. Сколько лет отцу?
3. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BK = 8\,$см, $CK = 4\,$см, $\angle A = 45^\circ$. Найдите площадь треугольника.
4. Сумма двух чисел равна 128. Найдите эти числа, если $75\%$ одного равно $25\%$ другого.
5. Решите уравнение \[ \frac{2}{r^2 - 4}\;-\;\frac{1}{r^2 - 2r} \;=\;\frac{4 - r}{r^2 + 2r}. \]
6. В трапеции $ABCD$ основания $AD=4\,$см, $BC=9\,$см, диагональ $BD=6\,$см. Если \[ \angle BAD + \angle BDC = 224^\circ, \] то чему равен угол $\angle ABC$?
7. Из пункта $A$ в пункт $B$ отправился пассажирский поезд, а в то же время из пункта $B$ в пункт $A$ — грузовой поезд. Скорости обоих поездов постоянны. Через 2 ч после встречи расстояние между ними составило 280 км. Пассажирский поезд прибыл в пункт $B$ через 9 ч после отправления, а грузовой — в пункт $A$ через 16 ч. Найдите скорость пассажирского поезда.
8. Функция задана формулой \[ y = \frac{-2^x\,(8 - \sqrt{2}\,x)}{x^2 + 4}, \] область определения — все целые $x$, удовлетворяющие неравенству \[ 0 < \lvert x - 4\rvert \le 1. \] Найдите множество значений этой функции.
9. В параллелограмме $ABCD$ даны $AD = 8\,$см, $AC = 10\,$см, $AM = \sqrt{52}\,$см, где $M$ — середина стороны $BC$. Найдите периметр параллелограмма.
10. Найдите четыре числа, первые три из которых образуют возрастающую геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 32, а сумма средних чисел равна 24.

Решения задач

1. Из перечисленных функций выберите ту, график которой проходит через начало координат:
   Решение: График функции проходит через начало координат, если при x=0 значение y=0. Проверим варианты:
   4) $y = -\sqrt{2}x$ — при x=0: y=0 $\Rightarrow$ график проходит через начало координат.
   Ответ: 4.
   
   
2. Сыну 20 лет. Его возраст относится к возрасту отца как $4:9$. Сколько лет отцу?
   Решение: Составим пропорцию:
   $\frac{20}{x} = \frac{4}{9} \Rightarrow x = \frac{20 \cdot 9}{4} = 45$
   Ответ: 45 лет.
   
   
3. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BK = 8$ см, $CK = 4$ см, $\angle A = 45^\circ$. Найдите площадь треугольника.
   Решение:
   Высота $BK = 8$ см делит сторону $AC$ на отрезки $AK = KC + BC = 8 \cot 45^\circ = 8$ см. Тогда $AC = AK + KC = 8 + 4 = 12$ см.
   Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².
   Ответ: 48 см².
   
   
4. Сумма двух чисел равна 128. Найдите числа, если $75\%$ одного равно $25\%$ другого.
   Решение: Пусть числа $x$ и $y$:
   $\begin{cases} x + y = 128 \\ 0.75x = 0.25y \Rightarrow y = 3x \end{cases}$
   Подставляя: $x + 3x = 128 \Rightarrow x = 32$, $y = 96$
   Ответ: 32 и 96.
   
   
5. Решите уравнение: \[ \frac{2}{r^2 - 4} - \frac{1}{r^2 - 2r} = \frac{4 - r}{r^2 + 2r} \] Решение: Разложим знаменатели:
   $\frac{2}{(r-2)(r+2)} - \frac{1}{r(r-2)} = \frac{4-r}{r(r+2)}$
   Общий знаменатель: $r(r-2)(r+2)$
   После преобразований уравнение сводится к $r^2 - 6r + 8 = 0 \Rightarrow r = 2$ (постор.) или $r = 4$
   Ответ: $r = 4$.
   
   
6. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=4$ см, $BC=9$ см, диагональю $BD=6$ см и суммой углов $224^\circ$, найдите $\angle ABC$.
   Решение: Используя теорему о сумме углов и свойства трапеции, находим:
   $\angle ABC = 180^\circ - (224^\circ - 180^\circ) = 136^\circ$
   Ответ: $136^\circ$.
   
   
7. Скорость пассажирского поезда:
   Решение: Пусть скорости $v$ и $u$, расстояние $S$. После встречи за 2 ч расстояние между ними составило $2(v + u) = 280 \Rightarrow v + u = 140$. Время движения: $S/v = 9$, $S/u = 16$. Решая систему, получим $v = 80$ км/ч.
   Ответ: 80 км/ч.
   
   
8. Множество значений функции:
   Возможные значения $x = 3, 5$:
   Для $x = 3: y = \frac{-8 \cdot (8 - 3\sqrt{2})}{13}$
   Для $x = 5: y = \frac{-32 \cdot (8 - 5\sqrt{2})}{29}$
   Ответ: $\left\{ -\frac{64 - 24\sqrt{2}}{13},\; -\frac{256 - 160\sqrt{2}}{29} \right\}$.
   
   
9. Периметр параллелограмма:
   Используя свойства параллелограмма и теорему медиан, находим стороны:
   $AB = CD = 6$ см, $BC = AD = 8$ см. Периметр: $2 \cdot (6 + 8) = 28$ см.
   Ответ: 28 см.
   
   
10. Четыре числа:
    Пусть числа $a$, $ar$, $ar^2$, $b$. С учетом условий составляем систему:
    $\begin{cases} a + b = 32 \\ ar + ar^2 = 24 \\ 2ar = ar^2 + b \end{cases}$
    Решения: $a = 8$, $r = 2$, $b = 24$. Числа: 8, 16, 24, 24.
    Ответ: 8, 16, 24, 24.