Могилёвский Лицей №1 из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1

2013 год

Вариант 2

1. Из чисел \(-4{,}5;\;2;\;5;\;6\) выберите те, которые являются решениями неравенства \[ \lvert x - 3\rvert \le 2. \]
2. Найдите три пары чисел \((x, y)\), которые удовлетворяют уравнению \[ 5x + 3y = 16. \]
3. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) \(AB = BC = 10\) см, а точки \(T\) и \(O\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Вычислите периметр четырёхугольника \(ATOC\), если известно, что в него можно вписать окружность.
4. При каких значениях переменной \(b\) уравнение \[ (b + 4)x^2 - (b - 3)x + 7b = 0 \] является линейным?
5. В ромбе \(ABCD\) \(AB = BD\). Длина радиуса окружности, вписанной в треугольник \(ABD\), равна \(2\sqrt{3}\) см. Вычислите периметр ромба.
6. Цену ручки сначала снизили на 15%, а затем новую цену снизили ещё на 20%. После этих снижений стоимость ручки оказалась равной 1360 р. Найдите первоначальную стоимость изделия.
7. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его катетов образуют арифметическую прогрессию с разностью 2 см.
8. Известно, что \(8 \le x \le 10\), \(1 < y \le 3\). Оцените значение выражения \[ \frac{y}{2} - x. \]
9. Решите неравенство \[ \frac{12x + 12}{6x + 6} \;\ge\; \sqrt{x^2}. \]
10. Значение разности \[ \sqrt{24\sqrt{3} - 43} \;-\; \sqrt{24\sqrt{3} + 43} \] является целым числом. Найдите это число.

Решения задач

1. Из чисел \(-4{,}5;\;2;\;5;\;6\) выбрать решения неравенства \(\lvert x - 3\rvert \le 2\).
   Решение: Решим неравенство: \[ -2 \le x - 3 \le 2 \implies 1 \le x \le 5. \] Из предложенных чисел в интервал [1; 5] попадают 2 и 5. Ответ: 2; 5.
   Ответ: \(2;\ 5\).
   
   
2. Найдите три пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(5x + 3y = 16\).
   Решение: Подберем целочисленные решения:
   • \(x = 2\): \(5 \cdot 2 + 3y = 16 \implies y = 2.\ \ (2; 2)\)
   • \(x = 5\): \(5 \cdot 5 + 3y = 16 \implies y = -3.\ \ (5; -3)\)
   • \(x = -1\): \(5 \cdot (-1) + 3y = 16 \implies y = 7.\ \ (-1; 7)\)
   Ответ: \((2; 2)\), \((5; -3)\), \((-1; 7)\).
   
   
3. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) \(AB = BC = 10\) см, точки \(T\) и \(O\) — середины \(AB\) и \(BC\) соответственно. Периметр четырёхугольника \(ATOC\) равен 20 см (т.к. в него можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны).
   Ответ: \(20\) см.
   
   
4. Уравнение \((b + 4)x^2 - (b - 3)x + 7b = 0\) линейно при \(b = -4\) (коэффициент при \(x^2\) равен нулю, а при \(x\) не нулю).
   Ответ: \(b = -4\).
   
   
5. В ромбе \(ABCD\) \(AB = BD\), треугольник \(ABD\) равносторонний. Радиус вписанной окружности \(r = 2\sqrt{3}\,\)см. Сторона \(AB = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 12\,\)см. Периметр ромба \(4 \cdot 12 = 48\,\)см.
   Ответ: \(48\) см.
   
   
6. Пусть первоначальная цена ручки \(x\)\,р. После двух снижений: \(x \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}8 = 1360\). Тогда \(x = \frac{1360}{0{,}68} = 2000\) р.
   Ответ: \(2000\) р.
   
   
7. Катеты: \(a\) и \(a + 2\). По теореме Пифагора: \[ a^2 + (a + 2)^2 = c^2. \] Решение при \(a = 6\) и \(a + 2 = 8\) дает \(c = 10\) см.
   Ответ: \(10\) см.
   
   
8. Оценка \(\frac{y}{2} - x\): \[ \frac{1}{2} < \frac{y}{2} \le \frac{3}{2},\quad -10 \le -x \le -8. \] Суммируем: \[ -9{,}5 < \frac{y}{2} - x \le -6{,}5. \] Ответ: \([-9.5; -6.5)\).
   
   
9. Упростим неравенство: \[ \frac{12(x + 1)}{6(x + 1)} \ge |x| \implies 2 \ge |x|,\quad x \neq -1. \] Решение: \(x \in [-2; 2] \setminus \{-1\}\).
   Ответ: \(x \in [-2; 2]\), \(x \neq -1\).
   
   
10. Пусть \(A = \sqrt{24\sqrt{3} + 43} = 4 + 3\sqrt{3}\), \(B = \sqrt{43 - 24\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - 4\). Тогда \(B - A = -8\) (с учетом возможной опечатки в условии).
    Ответ: \(-8\).