8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Могилёвский Лицей №1 из 9 в 10 класс 2013 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1


2013 год


Вариант 1



  1. Из чисел \(-4,5;\;2;\;5;\;6\) выберите те, которые являются решениями неравенства \[ x - \lvert x \rvert < 3. \]
  2. Найдите три пары чисел \((x,y)\), удовлетворяющие уравнению \[ 7x - 5y = 12. \]
  3. В треугольник \(ABC\) вписана окружность; точки \(P\) и \(T\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Длина \(AC = 6\) см. Вычислите периметр четырёхугольника \(APTC\).
  4. При каких значениях переменной \(a\) уравнение \[ (a + 3)x^2 - (a - 2)x + 5a = 0 \] является квадратным?
  5. В прямоугольнике \(ABCD\) точка \(T\) лежит на стороне \(BC\), причём \(AT = AD\) и \(\angle BAT = 30^\circ\). Известно, что \(BT = 3\) см. Найдите радиус вписанной в треугольник \(ATD\) окружности.
  6. Цену изделия сначала снизили на $10\%$, а затем новую цену уменьшили на $20\%$. После этих двух снижений стоимость оказалась равной 720 руб. Найдите первоначальную цену изделия.
  7. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см.
  8. Известно, что \(5 \le x < 8\) и \(1 \le y \le 2\). Оцените значение выражения \[ \frac{x}{2} - y. \]
  9. Решите неравенство \[ \frac{9x - 9}{4x - 4} \;\le\; \sqrt{x^2}. \]
  10. Значение разности \[ \sqrt{\,12\sqrt{5} - 29\,} \;-\; \sqrt{\,12\sqrt{5} + 29\,} \] является целым числом. Найдите это число.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решениями неравенства \(x - \lvert x \rvert < 3\) являются все отрицательные и неотрицательные числа, удовлетворяющие условию. Проверим данные числа: \[ \begin{aligned} x &= -4{,}5: & -4{,}5 - 4{,}5 &= -9 & (-9 < 3) &\quad \text{решение подходит}, \\ x &= 2: & 2 - 2 &= 0 & (0 < 3) &\quad \text{решение подходит}, \\ x &= 5: & 5 - 5 &= 0 & (0 < 3) &\quad \text{решение подходит}, \\ x &= 6: & 6 - 6 &= 0 & (0 < 3) &\quad \text{решение подходит}. \\ \end{aligned} \] Ответ: \(-4{,}5\), \(2\), \(5\), \(6\).

  2. Подберём три пары чисел \((x, y)\) для уравнения \(7x - 5y = 12\): \[ \begin{aligned} &x = 1: & 7(1) - 5y = 12 &\implies y = -1 &\quad (1, -1), \\ &x = 6: &7(6) - 5y = 12 &\implies y = 6 &\quad (6, 6), \\ &x = 5: &7(5) - 5y = 12 &\implies y = \frac{23}{5} &\quad \left(5, \frac{23}{5}\right). \\ \end{aligned} \] Ответ: \((1, -1)\), \((6, 6)\), \(\left(5, \frac{23}{5}\right)\).

  3. Периметр четырёхугольника \(APTC\) складывается из половин сторон \(AB\), \(BC\), средней линии \(PT = \frac{AC}{2} = 3\) см и стороны \(AC = 6\) см. По свойству середин и средней линии получаем: \[ P = \frac{AB}{2} + \frac{BC}{2} + 3 + 6 = \frac{AB + BC}{2} + 9. \] Так как треугольник \(ABC\) имеет периметр \(AB + BC + 6\), то полупериметр равен \(\frac{AB + BC + 6}{2}\). Отсюда: \[ P = \frac{AB + BC}{2} + 9 = 12 \, \text{см}. \] Ответ: 12 см.

  4. Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\). Коэффициент при \(x^2\) равен \(a + 3\). Уравнение квадратное при \(a + 3 \ne 0 \implies a \ne -3\). Ответ: \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).

  5. Гипотенуза \(AT = AD = 6\) см. Треугольник \(ATD\) равносторонний с длиной стороны \(6\) см. Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \, \text{см}. \] Ответ: \(\sqrt{3}\) см.

  6. Первоначальная цена \(x\) после снижений стала: \[ x \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}8 = 720 \implies x = \frac{720}{0{,}72} = 1000 \, \text{руб.} \] Ответ: 1000 руб.

  7. Пусть катеты \(a\) и \(a + 1\). По теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + (a + 1)^2} = \sqrt{2a^2 + 2a + 1}. \] Подбором \(a = 3\) см → гипотенуза \(c = 5\) см. Ответ: 5 см.

  8. Оценим выражение \(\frac{x}{2} - y\): \[ x \in [5; 8) \implies \frac{x}{2} \in [2{,}5; 4). \] Максимум: \(4 - 1 = 3\) (не включая 3), минимум: \(2{,}5 - 2 = 0{,}5\). Ответ: \(0{,}5 \le\ \frac{x}{2} - y < 3\).

  9. Упростим неравенство: \[ \frac{9(x - 1)}{4(x - 1)} \le |x| \implies \frac{9}{4} \le |x| \quad (x \ne 1). \] Решение: \(x \le -2{,}25\) или \(x \ge 2{,}25\) (\(x \ne 1\)). Ответ: \(x \in (-\infty; -2{,}25] \cup [2{,}25; \infty)\).

  10. Примем разность за \(-k\). Сократив вычисления, получим: \[ \sqrt{\,12\sqrt5 -29\,} - \sqrt{\,12\sqrt5 +29\,} = -7. \] Ответ: \(-7\).
Материалы школы Юайти