8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Могилёвский Лицей №1 из 8 в 9 класс 2013 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2013
I am a button
Сложность:
Дата экзамена: 2013
youit.school ©

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1


2013 год


Вариант 2


Время выполнения работы: 90 минут

  1. Выберите неверное равенство:
    1. $\sqrt{400}=20;$
    2. $\sqrt{0,25}=0,5;$
    3. $\sqrt{0,36}=0,06;$
    4. $\sqrt{225}=15.$
  2. Выберите верные утверждения. В прямоугольнике:
    1. все углы равны;
    2. все стороны равны;
    3. диагонали равны;
    4. диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  3. Вычислите $\frac{5^{16} \cdot 5^{4}}{5^{18}}$.
  4. Решите неравенство: $2 y-4,8 \leq 4 y+1,2$.
  5. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-3 x-10}{x^{2}-5 x-14}$.
  6. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $C K, A C: B C=4: 5$. Найдите площадь треугольника $B C K$, если площадь треугольника $A K C$ равна $40 \mathrm{~cm}^{2}$.
  7. Найдите наибольшее значение функции $y=-x^{2}-4 x-5$.
  8. Бак заполняется через две трубы за 2 ч. Через первую трубу заполняется на 3 ч. быстрее, чем через вторую. За какое время может быть заполнен бак через каждую трубу в отдельности?
  9. Вычислите: $\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}$.
  10. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону длиной 10 см в отношении 13:9, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно $1 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выберите неверное равенство:
    Решение: Проверим каждое равенство:
    • $\sqrt{400}=20$ — верно, так как $20^2=400$
    • $\sqrt{0,25}=0,5$ — верно, так как $0,5^2=0,25$
    • $\sqrt{0,36}=0,06$ — неверно, так как $0,06^2=0,0036 \neq 0,36$
    • $\sqrt{225}=15$ — верно, так как $15^2=225$
    Ответ: $\sqrt{0,36}=0,06$.
  2. Выберите верные утверждения. В прямоугольнике:
    Решение: Свойства прямоугольника:
    • Все углы равны (верно, все углы прямые)
    • Все стороны равны (неверно, только противоположные)
    • Диагонали равны (верно)
    • Диагонали делятся пополам (верно)
    Ответ: 1, 3, 4.
  3. Вычислите $\frac{5^{16} \cdot 5^{4}}{5^{18}}$.
    Решение: Используем свойства степеней:
    $\frac{5^{16} \cdot 5^{4}}{5^{18}} = 5^{16+4-18} = 5^{2} = 25$
    Ответ: 25.
  4. Решите неравенство: $2 y-4,8 \leq 4 y+1,2$.
    Решение: Переносим слагаемые:
    $2y - 4,8 \leq 4y + 1,2$
    $-4,8 - 1,2 \leq 4y - 2y$
    $-6 \leq 2y$
    $y \geq -3$
    Ответ: $y \in [-3; +\infty)$.
  5. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-3 x-10}{x^{2}-5 x-14}$.
    Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
    Числитель: $x^2 - 3x -10 = (x-5)(x+2)$
    Знаменатель: $x^2 -5x -14 = (x-7)(x+2)$
    Сокращаем общий множитель $(x+2)$:
    $\frac{(x-5)(x+2)}{(x-7)(x+2)} = \frac{x-5}{x-7}$
    Ответ: $\frac{x-5}{x-7}$.
  6. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, $AC:BC=4:5$. Найдите площадь треугольника $BCK$, если площадь треугольника $AKC$ равна $40 \mathrm{~cm}^{2}$.
    Решение: Биссектриса делит сторону $AB$ в отношении $AC:BC=4:5$. Площади треугольников с общей высотой относятся как основания:
    $\frac{S_{AKC}}{S_{BCK}} = \frac{AK}{KB} = \frac{4}{5}$
    $S_{BCK} = \frac{5}{4} \cdot 40 = 50$ (см²)
    Ответ: 50 см².
  7. Найдите наибольшее значение функции $y=-x^{2}-4 x-5$.
    Решение: Функция квадратичная, ветви вниз. Наибольшее значение в вершине:
    $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$
    $y(-2) = -(-2)^2 -4 \cdot (-2) -5 = -4 +8 -5 = -1$
    Ответ: -1.
  8. Бак заполняется через две трубы за 2 ч. Через первую трубу заполняется на 3 ч. быстрее, чем через вторую. За какое время может быть заполнен бак через каждую трубу в отдельности?
    Решение: Пусть первая труба заполняет за $x$ часов, тогда вторая за $x+3$ часов. Составим уравнение:
    $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2}$
    Решаем уравнение:
    $2(x+3) + 2x = x(x+3)$
    $4x +6 = x^2 +3x$
    $x^2 -x -6 =0$
    Корни: $x=3$ и $x=-2$ (отрицательный корень не подходит)
    Ответ: первая труба — 3 часа, вторая — 6 часов.
  9. Вычислите: $\frac{5}{4+\sqrt{11}}+\frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}}-\frac{10}{\sqrt{19}+3}$.
    Решение: Избавимся от иррациональности в знаменателях: \begin{align*} \frac{5}{4+\sqrt{11}} &\cdot \frac{4-\sqrt{11}}{4-\sqrt{11}} = \frac{5(4-\sqrt{11})}{5} = 4-\sqrt{11} \\ \frac{8}{\sqrt{19}-\sqrt{11}} &\cdot \frac{\sqrt{19}+\sqrt{11}}{\sqrt{19}+\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{19}+\sqrt{11})}{8} = \sqrt{19}+\sqrt{11} \\ \frac{10}{\sqrt{19}+3} &\cdot \frac{\sqrt{19}-3}{\sqrt{19}-3} = \frac{10(\sqrt{19}-3)}{10} = \sqrt{19}-3 \end{align*} Суммируем:
    $(4-\sqrt{11}) + (\sqrt{19}+\sqrt{11}) - (\sqrt{19}-3) = 4 +3 =7$
    Ответ: 7.
  10. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону длиной 10 см в отношении 13:9, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно 1.
    Решение: Пусть основания $AD=13k$, $BC=9k$. По условию $BC=1$, тогда $k=\frac{1}{9}$. Большее основание $AD=13 \cdot \frac{1}{9} = \frac{13}{9}$. Высота трапеции:
    Из прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и катетом $\frac{13}{9} -1 = \frac{4}{9}$:
    $h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{4}{9}\right)^2} = \sqrt{100 - \frac{16}{81}} \approx \sqrt{99,8} \approx 9,99$ см
    Площадь трапеции:
    $S = \frac{1 + \frac{13}{9}}{2} \cdot h \approx \frac{22}{18} \cdot 10 \approx 12,22$ см²
    Ответ: $\frac{220}{3}$ см².
Материалы школы Юайти