8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Могилёвский Лицей №1 из 8 в 9 класс 2013 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1


2013 год


Вариант 1


Время выполнения работы: 90 минут

  1. Выберите неверное равенство:
    1. $\sqrt{3600}=60;$
    2. $\sqrt{0,36}=0,6;$
    3. $\sqrt{0,04}=0,02;$
    4. $\sqrt{100}=10$.
  2. Выберите верные утверждения. В ромбе:
    1. все углы равны;
    2. все стороны равны;
    3. диагонали равны;
    4. диагонали являются биссектрисами его углов.
  3. Вычислите $\frac{3^{15}}{3^{5} \cdot 3^{6}}$.
  4. Решите неравенство: $3 y+1,3 \geq 5 y-0,1$.
  5. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-7 x+12}{x^{2}-8 x+15}$.
  6. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $B K, A B: B C=3: 4$. Найдите площадь треугольника $B C K$, если площадь треугольника $A B K$ равна $36 \mathrm{~cm}^{2} .$
  7. Найдите наименьшее значение функции $y=x^{2}+6 x+13$.
  8. Бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Через первую трубу бассейн наполняется на 5 ч. быстрее, чем через вторую. За какое время может быть заполнен бассейн через каждую трубу в отдельности?
  9. Вычислите: $\frac{20}{7-\sqrt{29}}-\frac{15}{6+\sqrt{21}}-\frac{8}{\sqrt{29}-\sqrt{21}}$.
  10. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону длиной 13 см в отношении $26: 11$, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно $2 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выберите неверное равенство:
    Решение: Проверим каждое равенство:
    • $\sqrt{3600} = 60$ — верно, так как $60^2 = 3600$.
    • $\sqrt{0,36} = 0,6$ — верно, так как $0,6^2 = 0,36$.
    • $\sqrt{0,04} = 0,02$ — неверно, так как $0,02^2 = 0,0004 \neq 0,04$.
    • $\sqrt{100} = 10$ — верно.
    Ответ: $\sqrt{0,04}=0,02$.

  2. Выберите верные утверждения. В ромбе:
    Решение: Свойства ромба:
    • Все стороны равны — верно.
    • Диагонали являются биссектрисами углов — верно.
    • Все углы равны — неверно (только противоположные).
    • Диагонали равны — неверно (кроме квадрата).
    Ответ: все стороны равны; диагонали являются биссектрисами его углов.

  3. Вычислите $\frac{3^{15}}{3^{5} \cdot 3^{6}}$.
    Решение: $\frac{3^{15}}{3^{5} \cdot 3^{6}} = \frac{3^{15}}{3^{11}} = 3^{15-11} = 3^4 = 81$.
    Ответ: 81.

  4. Решите неравенство: $3 y+1,3 \geq 5 y-0,1$.
    Решение: $3y + 1,3 \geq 5y - 0,1$
    $3y - 5y \geq -0,1 - 1,3$
    $-2y \geq -1,4$
    $y \leq \frac{-1,4}{-2} = 0,7$.
    Ответ: $y \leq 0,7$.

  5. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-7 x+12}{x^{2}-8 x+15}$.
    Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
    Числитель: $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$
    Знаменатель: $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$
    После сокращения: $\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x-5)} = \frac{x-4}{x-5}$.
    Ответ: $\frac{x-4}{x-5}$.

  6. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $B K, A B: B C=3: 4$. Найдите площадь треугольника $B C K$, если площадь треугольника $A B K$ равна $36 \mathrm{~cm}^{2}$.
    Решение: Биссектриса делит сторону $AC$ в отношении $AB:BC = 3:4$. Площади треугольников с общей высотой относятся как основания: $\frac{S_{ABK}}{S_{BCK}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}$
    $S_{BCK} = S_{ABK} \cdot \frac{4}{3} = 36 \cdot \frac{4}{3} = 48$ см².
    Ответ: 48 см².

  7. Найдите наименьшее значение функции $y=x^{2}+6 x+13$.
    Решение: Выделим полный квадрат: $y = (x^2 + 6x + 9) + 4 = (x+3)^2 + 4$.
    Минимальное значение достигается при $x = -3$: $y_{min} = 4$.
    Ответ: 4.

  8. Бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Через первую трубу бассейн наполняется на 5 ч. быстрее, чем через вторую. За какое время может быть заполнен бассейн через каждую трубу в отдельности?
    Решение: Пусть первая труба заполняет бассейн за $x$ часов, тогда вторая — за $x+5$ часов. Совместная производительность: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$.
    Решим уравнение: $\frac{2x+5}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
    $12x + 30 = x^2 + 5x$
    $x^2 - 7x - 30 = 0$
    Корни: $x = 10$ (подходит), $x = -3$ (не подходит).
    Ответ: 10 ч и 15 ч.

  9. Вычислите: $\frac{20}{7-\sqrt{29}}-\frac{15}{6+\sqrt{21}}-\frac{8}{\sqrt{29}-\sqrt{21}}$.
    Решение: Упростим каждую дробь:
    • $\frac{20}{7-\sqrt{29}} \cdot \frac{7+\sqrt{29}}{7+\sqrt{29}} = 7+\sqrt{29}$
    • $\frac{15}{6+\sqrt{21}} \cdot \frac{6-\sqrt{21}}{6-\sqrt{21}} = 6-\sqrt{21}$
    • $\frac{8}{\sqrt{29}-\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{29}+\sqrt{21}}{\sqrt{29}+\sqrt{21}} = \sqrt{29}+\sqrt{21}$
    Сумма: $(7+\sqrt{29}) - (6-\sqrt{21}) - (\sqrt{29}+\sqrt{21}) = 1$.
    Ответ: 1.

  10. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону длиной 13 см в отношении $26: 11$, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно $2$.
    Решение: Пусть $AK:KD = 26:11$, тогда $AK = 10,4$ см, $KD = 2,6$ см. По свойству биссектрисы в трапеции: $\frac{AK}{KD} = \frac{AD - BC}{BC}$, где $AD$ — большее основание.
    $\frac{26}{11} = \frac{AD - 2}{2}$
    $AD - 2 = \frac{52}{11} \Rightarrow AD = \frac{74}{11}$ см.
    Высота трапеции: $h = \sqrt{13^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{169 - \left(\frac{52}{22}\right)^2} = \sqrt{169 - \frac{2704}{484}} = \frac{84}{11}$ см.
    Площадь: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{\frac{74}{11} + 2}{2} \cdot \frac{84}{11} = \frac{96}{22} \cdot \frac{84}{11} = \frac{4032}{242} = \frac{2016}{121} \approx 16,66$ см².
    Ответ: $\frac{2016}{121}$ см².
Материалы школы Юайти