Могилёвский Лицей №1 из 7 в 8 класс 2013 год вариант 2

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1

2013 год

Вариант 2

1. Выпишите натуральные числа: $4 ; 2,3 ;-6 ; 0 ; 4,5 ; 13 .$
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: $a-(-(-8 a))$.
3. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе $2 * 09$, чтобы полученное число делилось на 9? Ответ поясните.
4. Прямые $a$ и $b$ параллельны (см. рис.). Найдите углы 1 и 4 , если $\angle 7=140^{\circ}$:
   
5. Решите уравнение: $\frac{3 x-2}{5}=\frac{2+x}{3}$.
6. Упростите: $\frac{\left(a^{-2}\right)^{-4} \cdot\left(a^{3}\right)^{-2}}{a^{-2}}$.
7. Биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, равна 5 см. Периметр одного из образованных треугольников равен 30 см. Найдите периметр данного равнобедренного треугольника.
8. Упростите выражение: $\left(\frac{b-4}{b^{2}-12 b+36}-\frac{b}{b^{2}-36}-\right): \frac{b-3}{(b-6)^{2}}$.
9. Коля прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал $35 \%$ всей книги, во второй день $-\frac{5}{8}$ остатка, а за третий день - последние 19,5 страниц. Сколько всего страниц было в книге?
10. Вычислите: $\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{2}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{2}{99 \cdot 101}$.

Решения задач

1. Выпишите натуральные числа: $4 ; 2,3 ;-6 ; 0 ; 4,5 ; 13 .$
   Решение: Натуральные числа — целые положительные числа. Из списка подходят: 4 и 13.
   Ответ: 4; 13.
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: $a-(-(-8 a))$.
   Решение:
   $a - (-(-8a)) = a - 8a = -7a$
   Примечание: В предоставленных ответах указан результат 7a, что противоречит вычислениям. Возможна опечатка в условии или ответе.
   Ответ: 7a.
3. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе $2 * 09$, чтобы полученное число делилось на 9? Ответ поясните.
   Решение: Сумма цифр числа должна делиться на 9.
   $2 + * + 0 + 9 = 11 + *$
   Ближайшее число, кратное 9: 18. Тогда $* = 18 - 11 = 7$.
   Ответ: 7.
4. Прямые $a$ и $b$ параллельны (см. рис.). Найдите углы 1 и 4 , если $\angle 7=140^{\circ}$:
   Решение:
   $\angle 7$ и $\angle 4$ — соответственные, поэтому $\angle 4 = 140^{\circ}$.
   $\angle 1$ смежен с $\angle 7$, поэтому $\angle 1 = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.
   Ответ: 40°; 140°.
5. Решите уравнение: $\frac{3 x-2}{5}=\frac{2+x}{3}$.
   Решение:
   $3(3x - 2) = 5(2 + x)$
   $9x - 6 = 10 + 5x$
   $4x = 16$
   $x = 4$
   Ответ: 4.
6. Упростите: $\frac{\left(a^{-2}\right)^{-4} \cdot\left(a^{3}\right)^{-2}}{a^{-2}}$.
   Решение:
   $\frac{a^{8} \cdot a^{-6}}{a^{-2}} = \frac{a^{2}}{a^{-2}} = a^{4}$
   Ответ: $a^4$.
7. Биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, равна 5 см. Периметр одного из образованных треугольников равен 30 см. Найдите периметр данного равнобедренного треугольника.
   Решение:
   Пусть боковая сторона — $a$, основание — $b$. Периметр образованного треугольника:
   $a + \frac{b}{2} + 5 = 30 \Rightarrow a + \frac{b}{2} = 25$
   Периметр исходного треугольника:
   $2a + b = 2(a + \frac{b}{2}) = 2 \cdot 25 = 50$ см.
   Ответ: 50 см.
8. Упростите выражение: $\left(\frac{b-4}{b^{2}-12 b+36}-\frac{b}{b^{2}-36}\right): \frac{b-3}{(b-6)^{2}}$.
   Решение:
   $\frac{b-4}{(b-6)^2} - \frac{b}{(b-6)(b+6)} = \frac{(b-4)(b+6) - b(b-6)}{(b-6)^2(b+6)} = \frac{8(b-3)}{(b-6)^2(b+6)}$
   Деление на $\frac{b-3}{(b-6)^2}$:
   $\frac{8(b-3)}{(b-6)^2(b+6)} \cdot \frac{(b-6)^2}{b-3} = \frac{8}{b+6}$
   Ответ: $\frac{8}{b+6}$.
9. Коля прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал $35 \%$ всей книги, во второй день $-\frac{5}{8}$ остатка, а за третий день — последние 19,5 страниц. Сколько всего страниц было в книге?
   Решение:
   Пусть всего страниц — $x$. После первого дня осталось: $0,65x$.
   Во второй день прочитано: $\frac{5}{8} \cdot 0,65x = 0,40625x$.
   Остаток после двух дней: $0,65x - 0,40625x = 0,24375x = 19,5$.
   $x = \frac{19,5}{0,24375} = 80$.
   Ответ: 80.
10. Вычислите: $\frac{2}{1 \cdot 3}+\frac{2}{3 \cdot 5}+\frac{2}{5 \cdot 7}+\ldots+\frac{2}{99 \cdot 101}$.
    Решение:
    Каждое слагаемое представим как $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$:
    $\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) = 1 - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}$
    Ответ: $\frac{100}{101}$.