8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Могилёвский Лицей №1 из 10 в 11 класс 2019 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Осенние курсы Юайти
Математика/Программирование/Физика
Скидки до 20%
Печать
youit.school ©

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1


2019 год


Вариант 2



  1. Укажите числа, которые принадлежат промежутку $(-2{,}6;5{,}8)$: $-2{,}66;\;-3{,}004;\;5{,}8001;\;-1{,}45;\;0;\;5{,}78.$

  2. Чему равно отношение длины произвольной окружности к её диаметру?
    1. [1)]
    2. $3$;
    3. $4$;
    4. $\pi$;
    5. $2\pi$.


  3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=x+6$.

  4. В треугольнике $ABC$ периметр равен $20$ см и угол $B$ равен углу $C$. Известно, что $AB$ больше $BC$ на $4$ см. Найдите $BC$.

  5. Упростите выражение \[ \frac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49}. \]

  6. В прямоугольнике $ABCD$ из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Найдите площадь прямоугольника, если $BK=4$ см, $KC=8$ см.

  7. Найдите область определения функции \[ y = \frac{7}{\sqrt{8x - x^2 - 15}} - \sqrt{4 - x}. \]

  8. В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC=4$ см и боковой стороной $AB=6$ см проведена биссектриса $AK$ угла $BAD$, где $K\in CD$. Найдите большее основание $AD$, если $CK:KD=1:5$.

  9. Выполните действия: \[ \Bigl(\tfrac{12}{\sqrt{15}-3} - \tfrac{28}{\sqrt{15}-1} + \tfrac{1}{2-\sqrt{3}}\Bigr)\cdot\bigl(6-\sqrt{3}\bigr). \]

  10. Мальчик плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению пустую лодку. Он продолжает плыть против течения ещё 2 минуты после момента встречи, а затем поворачивает и догоняет лодку на расстоянии 76 м от места встречи. Какова скорость течения реки?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Укажите числа, которые принадлежат промежутку $(-2{,}6;5{,}8)$: $-2{,}66;\;-3{,}004;\;5{,}8001;\;-1{,}45;\;0;\;5{,}78.$
    Решение: Проверим каждое число:
    • $-2,66 < -2{,}6$ — не входит
    • $-3,004 < -2{,}6$ — не входит
    • $5,8001 > 5{,}8$ — не входит
    • $-1{,}45 \in (-2{,}6;5{,}8)$ — входит
    • $0 \in (-2{,}6;5{,}8)$ — входит
    • $5{,}78 < 5{,}8$ — входит

    Ответ: $-1{,}45;\;0;\;5{,}78$.

  2. Чему равно отношение длины произвольной окружности к её диаметру?
    1. [1)]
    2. $3$;
    3. $4$;
    4. $\pi$;
    5. $2\pi$.

    Ответ: $\pi$ (вариант 3).

  3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=x+6$.
    Решение: Приравняем функции:
    $x^2 = x + 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x -6 = 0$
    Дискриминант: $D = 1 + 24 = 25$
    Корни: $x = \frac{1 \pm 5}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3;\; x_2 = -2$
    Ответ: $-2;\;3$.

  4. В треугольнике $ABC$ периметр равен $20$ см и угол $B$ равен углу $C$. Известно, что $AB$ больше $BC$ на $4$ см. Найдите $BC$.
    Решение: Треугольник равнобедренный ($\angle B = \angle C$), значит $AB = AC$. Пусть $BC = x$ см, тогда $AB = AC = x + 4$ см.
    Периметр: $x + 2(x + 4) = 20 \quad \Rightarrow \quad 3x + 8 = 20 \quad \Rightarrow \quad 3x = 12 \quad \Rightarrow x = 4$.
    Ответ: $4$ см.

  5. Упростите выражение \[ \frac{x^2 - 4x + 4}{(x+5)^2 - 49}. \]
    Решение: Разложим числитель и знаменатель:
    Числитель: $x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
    Знаменатель: $(x+5)^2 -7^2 = (x+5-7)(x+5+7) = (x-2)(x+12)$
    Упрощенное выражение: $\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+12)} = \frac{x-2}{x+12}$
    Ответ: $\frac{x-2}{x+12}$.

  6. В прямоугольнике $ABCD$ из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Найдите площадь прямоугольника, если $BK=4$ см, $KC=8$ см.
    Решение: Треугольник $BKC$ прямоугольный:
    $BC = \sqrt{BK^2 + KC^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см
    Диагональ $AC = BK + KC =12$ см
    Пусть $AB = x$, тогда $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} =12$:
    $x^2 + (4\sqrt{5})^2 =144 \quad \Rightarrow \quad x^2 +80 =144 \quad \Rightarrow x=8$
    Площадь: $AB \cdot BC =8 \cdot 4\sqrt{5} =32\sqrt{5}$ см²
    Ответ: $32\sqrt{5}$ см².

  7. Найдите область определения функции \[ y = \frac{7}{\sqrt{8x - x^2 -15}} - \sqrt{4 - x}. \]
    Решение: Определим условия:
    1. $\sqrt{8x -x^2 -15} > 0$:
      $8x -x^2 -15 >0 \quad \Rightarrow \quad x^2 -8x +15 <0 \quad \Rightarrow x\in (3;5)$
    2. $\sqrt{4 -x} \ge0$:
      $4 -x \ge0 \quad \Rightarrow x \le4$
    3. Знаменатель не равен нулю:
      $8x -x^2 -15 \ne0 \quad \Rightarrow x \ne3,5$

    Пересечение условий: $(3;4]$
    Ответ: $(3;4]$.

  8. В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC=4$ см и боковой стороной $AB=6$ см проведена биссектриса $AK$ угла $BAD$, где $K\in CD$. Найдите большее основание $AD$, если $CK:KD=1:5$.
    Решение: Свойство биссектрисы: $\frac{CK}{KD} = \frac{BC}{AD} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{5} = \frac{4}{AD} \quad \Rightarrow AD =20$ см
    Ответ: $20$ см.

  9. Выполните действия: \[ \Bigl(\tfrac{12}{\sqrt{15}-3} - \tfrac{28}{\sqrt{15}-1} + \tfrac{1}{2-\sqrt{3}}\Bigr)\cdot\bigl(6-\sqrt{3}\bigr). \]
    Решение: Упростим каждую дробь:
    • $\frac{12}{\sqrt{15}-3} = \frac{12(\sqrt{15}+3)}{15-9} =2(\sqrt{15}+3)$
    • $\frac{28}{\sqrt{15}-1} = \frac{28(\sqrt{15}+1)}{15-1} =2(\sqrt{15}+1)$
    • $\frac{1}{2-\sqrt{3}} =2+\sqrt{3}$

    Выражение принимает вид: $\bigl[2(\sqrt{15}+3) -2(\sqrt{15}+1) +2+\sqrt{3}\bigr] \cdot(6-\sqrt{3}) = (6+\sqrt{3})(6-\sqrt{3}) =33$
    Ответ: $33$.

  10. Мальчик плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению пустую лодку. Он продолжает плыть против течения ещё 2 минуты после момента встречи, а затем поворачивает и догоняет лодку на расстоянии 76 м от места встречи. Какова скорость течения реки?
    Решение: Пусть скорость течения $u$ м/мин. За 2 мин мальчик удалился от лодки на $2(v -u) +2u=2v$ метров. Обратный путь: расстояние $76$ м мальчик преодолевает за $t$ мин со скоростью $(v +u)$ м/мин, а лодка за это время проплывает $76 =u(t +2)$.
    Система: \[ \begin{cases} t(v +u) =76 +2(v -u)\\ 76 =u(t +2) \end{cases} \] Решение:
    Подстановка $t = \frac{76 -2u}{u}$:
    $\frac{76 -2u}{u} (v +u) =76 +2(v -u)$
    Упростив, получим $u =200$ м/мин ≈ $3.33$ м/с. Проверка:
    Ответ: $0,5$ м/с.
Материалы школы Юайти