8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Могилёвский Лицей №1 из 10 в 11 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©

МОГИЛЁВСКИЙ ЛИЦЕЙ №1


2019 год


Вариант 1



  1. Укажите числа, которые принадлежат промежутку $(-2{,}6;5{,}8)$: $-2{,}65; \;-3{,}002; \;5{,}8003; \;-1{,}64; \;1; \;5{,}79.$

  2. Чему равно отношение длины произвольной окружности к её радиусу?
    1. $3$;
    2. $4$;
    3. $\pi$;
    4. $2\pi$.


  3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y=-x^2$ и $y=-5x-6$.

  4. В треугольнике $ABC$ периметр равен $28$ см и угол $A$ равен углу $B$. Известно, что $AB:AC=3:2$. Найдите $AB$.

  5. Упростите выражение \[ \frac{y^2+14y+49}{(y+3)^2-16}. \]

  6. В прямоугольнике $ABCD$ из вершины $C$ опущен перпендикуляр $CM$ на диагональ $BD$. Найдите площадь прямоугольника, если $BM=9$ см, $MD=4$ см.

  7. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{6x - x^2 - 8} + \frac{2}{\sqrt{3 - x}}. \]

  8. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC=6$ см проведена биссектриса $AM$ угла $BAD$, где $M\in CD$. Найдите большее основание $AD$, если $CM=2$ см, $MD=8$ см.

  9. Выполните действия: \[ \bigl(\tfrac{12}{\sqrt{13}-3} - \tfrac{36}{\sqrt{13}-1} + \tfrac{2}{1-\sqrt{2}}\bigr)\cdot(4 + 2\sqrt{2}). \]

  10. Катер плывёт против течения реки и встречает плот, плывущий по течению. После встречи катер плывёт против течения ещё 3 минуты, а затем разворачивается и догоняет плот на расстоянии 102 м от места первой встречи. Найдите скорость течения реки.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Укажите числа, которые принадлежат промежутку $(-2{,}6;5{,}8)$: Решение: Проверяем каждое число:
    $-2{,}65 < -2{,}6$ – не входит,
    $-3{,}002 < -2{,}6$ – не входит,
    $5{,}8003 > 5{,}8$ – не входит,
    $-1{,}64 \in (-2{,}6;5{,}8)$ – входит,
    $1 \in (-2{,}6;5{,8})$ – входит,
    $5{,}79 < 5{,}8$ – входит.
    Ответ: $-1{,}64; \;1; \;5{,}79$.

  2. Чему равно отношение длины произвольной окружности к её радиусу? Решение: Длина окружности $C = 2\pi R$, тогда $\frac{C}{R} = 2\pi$.
    Ответ: 4) $2\pi$.

  3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y=-x^2$ и $y=-5x-6$.
    Решение: Приравняем уравнения:
    $-x^2 = -5x - 6$
    $x^2 - 5x - 6 = 0$
    Дискриминант $D = 25 + 24 = 49$,
    $x = \frac{5 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = 6$, $x_2 = -1$.
    Проверка показывает, что оба корня подходят.
    Ответ: $-1$ и $6$.

  4. В треугольнике $ABC$ периметр равен $28$ см и угол $A$ равен углу $B$. Известно, что $AB:AC=3:2$. Найдите $AB$.
    Решение: Треугольник равнобедренный ($\angle A = \angle B$), поэтому $AC = BC$. Пусть $AB = 3k$, $AC = BC = 2k$.
    Периметр: $3k + 2k + 2k = 7k = 28 \Rightarrow k = 4$.
    $AB = 3k = 12$ см.
    Ответ: $12$ см.

  5. Упростите выражение \[ \frac{y^2+14y+49}{(y+3)^2-16} = \frac{(y+7)^2}{(y+3-4)(y+3+4)} = \frac{(y+7)^2}{(y-1)(y+7)} = \frac{y+7}{y-1}. \] Ответ: $\frac{y+7}{y-1}$.

  6. В прямоугольнике $ABCD$ из вершины $C$ опущен перпендикуляр $CM$ на диагональ $BD$. Найдите площадь прямоугольника, если $BM=9$ см, $MD=4$ см.
    Решение: По свойству проекций $CM^2 = BM \cdot MD = 9 \cdot 4 = 36 \Rightarrow CM = 6$ см.
    Диагональ $BD = BM + MD = 13$ см. Площадь прямоугольника:
    $S = BD \cdot CM = 13 \cdot 6 = 78$ см².
    Ответ: $78$ см².

  7. Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{6x - x^2 - 8} + \frac{2}{\sqrt{3 - x}}. \] Решение: \[ \begin{cases} 6x - x^2 - 8 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \leq 0 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2 \leq x \leq 4 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow x \in [2; 3). \] Ответ: $[2; 3)$.

  8. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC=6$ см проведена биссектриса $AM$ угла $BAD$, где $M\in CD$. Найдите большее основание $AD$, если $CM=2$ см, $MD=8$ см.
    Решение: По свойству биссектрисы $\frac{AD}{BC} = \frac{MD}{CM} \Rightarrow \frac{AD}{6} = \frac{8}{2} \Rightarrow AD = 24$ см.
    Ответ: $24$ см.

  9. Выполните действия: \[ \bigl(\tfrac{12}{\sqrt{13}-3} - \tfrac{36}{\sqrt{13}-1} + \tfrac{2}{1-\sqrt{2}}\bigr)\cdot(4 + 2\sqrt{2}) = 8. \] Решение: После упрощения выражение сводится к $8$.
    Ответ: $8$.

  10. Катер плывёт против течения реки и встречает плот, плывущий по течению. После встречи катер плывёт против течения ещё 3 минуты, а затем разворачивается и догоняет плот на расстоянии 102 м от места первой встречи. Найдите скорость течения реки.
    Решение: Пусть $x$ м/мин — скорость течения. После встречи плот проплывает $6x$ метров за время движения катера ($3$ мин против течения и $3$ мин по течению). По условию $6x = 102 \Rightarrow x = 17$ м/мин.
    Ответ: $17$ м/мин.
Материалы школы Юайти