МАОУ «СОШ № 146» г.Перми из 6 в 7 класс 2025 год вариант 2

МАОУ "СОШ № 146" г.Перми

2025

Вариант 2

1. Найдите значение выражения: \[ 20 - 18{,}6 \;\colon\;\Bigl(6\dfrac{11}{15} - 4\dfrac{3}{20}\Bigr). \]
2. Найдите неизвестный член пропорции: \[ 7{,}6 : x = 2\dfrac{1}{9} : 2\dfrac{4}{9}. \]
3. Найдите число \(p\), если \(60\%\) от \(p\) равны \(\tfrac{6}{7}\) от \(84\).
4. Луч \(CK\) разделил угол \(ACD\) на два угла \(\angle ACK\) и \(\angle KCD\) так, что угол \(KCD\) оказался больше угла \(ACK\) на \(28^\circ\). Найдите градусную меру угла \(ACD\), если известно, что угол \(ACK\) составляет \(\tfrac{5}{9}\) угла \(KCD\).
5. На свалке автомобилей находилось 340 машин трёх видов. Автомашины «Москвич» составляли \(45\%\) от числа машин «Жигули», а число машин «Запорожец» составляло \(\tfrac{5}{9}\) от числа автомобилей «Москвич». Сколько автомобилей «Запорожец» находилось на свалке?
6. На базар привезли арбузы. Если их считать десятками, то получается целое число десятков. Если их считать дюжинами (по 12), то опять получается целое число дюжин. Сколько арбузов привезли на базар, если их больше 300, но меньше 400?
7. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем \(133\)?
8. Один рабочий порученную работу выполняет за 12 часов, а другой — за 15 часов. Первый из них работал 5 часов, второй — 7 часов. Кто из них выполнил больший объём работы? В ответе укажите, во сколько раз один объём больше другого.
9. Вам нужно заполнить коробку \(4\times7\times5\) кубиками двух типов: \(2\times2\times2\) и \(1\times1\times1\), так чтобы в коробке не осталось пустого места и было использовано наименьшее количество кубиков. Сколько потребуется кубиков?
10. В вагоне электрички ехали меньше 150 человек, причём число сидящих пассажиров было в шесть раз больше числа стоящих. На остановке \(5\%\) пассажиров вышли. Сколько пассажиров осталось в вагоне?
    
    
11. Таблицу (см. рис.) нужно заполнить, используя числа 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждое число появилось в каждом столбце, каждой строке и каждой диагонали по одному разу. Первые несколько чисел уже расставлены. Какое число будет в центральной клетке?
    
12. В турнире участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда встречается с каждой другой. За победу начисляется 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 10, 8, 4, 3 и 1 очко. Сколько было ничьих?
13. Коля и Боря пошли в лес за грибами. Коля набрал больше 5 кг, но меньше 7 кг, а Боря — больше 6 кг, но меньше 9 кг. Когда они пришли домой, мама отбраковала из Колиной корзины больше 1,4 кг, но меньше 2 кг грибов, а из Бори­ной — больше 1 кг, но меньше 1,3 кг грибов. Все остальные грибы мама перед обработкой взвесила. Между какими делениями наверняка остановится стрелка весов? В ответе укажите номер выбранного варианта:
    1. 8,6 и 12,7
    2. 7,7 и 13,6
    3. 7,7 и 12,7
    4. 12,7 и 13,6
    
    
    
14. Таблица состоит из двух столбцов. В первой строке этой таблицы записаны натуральные числа, в каждой следующей строке, начиная со второй, в первом столбце стоит произведение и во втором — частное чисел предыдущей строки (всегда большее число делят на меньшее). Найдите произведение чисел первой строки этой таблицы, если в пятой строке стоят числа \(625\) и \(81\).
15. Петя выписал все четырёхзначные числа от 1000 до 9999 и подчеркнул те из них, в которых есть хотя бы три одинаковые цифры. Сколько чисел он подчеркнул?
16. Аня и Маша живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено 5 квартир. Аня живёт на 2‑м этаже в квартире № 96, а Маша — на 6‑м этаже в квартире № 148. Сколько этажей в доме?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 20 - 18{,}6 \;\colon\;\Bigl(6\tfrac{11}{15} - 4\tfrac{3}{20}\Bigr). \] Решение: \[ 6\tfrac{11}{15} = \frac{101}{15}, \quad 4\tfrac{3}{20} = \frac{83}{20} \] \[ \frac{101}{15} - \frac{83}{20} = \frac{404 - 249}{60} = \frac{155}{60} = \frac{31}{12} \] \[ 18{,}6 : \frac{31}{12} = \frac{18{,}6 \times 12}{31} = 7{,}2 \] \[ 20 - 7{,}2 = 12{,}8 \] Ответ: 12,8.
2. Найдите неизвестный член пропорции: \[ 7{,}6 : x = 2\tfrac{1}{9} : 2\tfrac{4}{9}. \] Решение: \[ 2\tfrac{1}{9} = \frac{19}{9}, \quad 2\tfrac{4}{9} = \frac{22}{9} \] \[ \frac{19}{9} : \frac{22}{9} = \frac{19}{22} \] \[ 7{,}6 : x = \frac{19}{22} \implies x = 7{,}6 \times \frac{22}{19} = 8{,}8 \] Ответ: 8,8.
3. Найдите число \( p \), если 60% от \( p \) равны \(\tfrac{6}{7}\) от 84. Решение: \[ \frac{6}{7} \times 84 = 72 \] \[ 0{,}6p = 72 \implies p = 72 : 0{,}6 = 120 \] Ответ: 120.
4. Найдите градусную меру угла \( ACD \), где \( \angle KCD - \angle ACK = 28^\circ \) и \( \angle ACK = \tfrac{5}{9} \angle KCD \). Решение: Пусть \( \angle KCD = x \), тогда \( \angle ACK = \frac{5}{9}x \): \[ x - \frac{5}{9}x = 28^\circ \implies \frac{4}{9}x = 28^\circ \implies x = 63^\circ \] \[ \angle ACD = 63^\circ + 35^\circ = 98^\circ \] Ответ: 98°.
5. Ответ: на свалке было $50$ автомобилей «Запорожец». Решение Пусть количество машин «Жигули» примем за $100\%$. По условию задачи: «Москвичей» было $45\%$ от числа «Жигулей», значит «Москвичей» $45\%$. «Запорожцев» было $\dfrac{5}{9}$ от числа «Москвичей». Найдём, сколько это процентов. Берём $45$ и делим на $9$: \[ 45 : 9 = 5. \] Теперь умножаем на $5$: \[ 5 \cdot 5 = 25. \] Значит, «Запорожцев» было $25\%$ от числа «Жигулей». Теперь сложим все проценты: \[ 100% + 45% + 25% = 170\%. \] То есть все $340$ машин — это $170\%$. Найдём, сколько машин приходится на $1\%$: \[ 340 : 170 = 2. \] Значит, $1\%$ — это $2$ машины. «Запорожцев» — $25\%$, значит: \[ 25 \cdot 2 = 50. \] Ответ: на свалке было $50$ автомобилей «Запорожец».
6. Сколько арбузов привезли на базар? Решение: НОК(10,12) = 60. Число между 300 и 400: \( 60 \times 6 = 360 \). Ответ: 360.
7. Число несократимых правильных дробей со знаменателем 133.
   Решение.
   Рассматриваем дроби вида \[ \frac{a}{133}, \] где числитель $a$ меньше знаменателя $133$. Значит, $a$ может быть любым числом от $1$ до $132$. Дробь будет несократимой, если числитель и знаменатель не имеют общего делителя больше $1$. То есть число $a$ не должно делиться ни на какой общий делитель с числом $133$, кроме $1$. Разложим число $133$ на множители: \[ 133 = 7 \cdot 19. \] Значит, общий делитель числителя и знаменателя может быть только $7$ или $19$. Дробь \(\dfrac{a}{133}\) будет сократимой, если $a$ делится на $7$ или на $19$. И наоборот, дробь будет несократимой, если $a$ не делится ни на $7$, ни на $19$.
   Посчитаем, сколько чисел от $1$ до $132$ делятся на $7$: \[ 7, 14, 21, \dots, 126. \] Так как \[ 7 \cdot 18 = 126,\quad 7 \cdot 19 = 133 > 132, \] таких чисел $18$. Теперь посчитаем, сколько чисел от $1$ до $132$ делятся на $19$: \[ 19, 38, 57, 76, 95, 114. \] Так как \[ 19 \cdot 6 = 114,\quad 19 \cdot 7 = 133 > 132, \] таких чисел $6$. Число, которое делится и на $7$, и на $19$, должно делиться на \[ 7 \cdot 19 = 133, \] но среди чисел от $1$ до $132$ таких нет. Значит, чисел, которые делятся и на $7$, и на $19$ одновременно, нет, и повторов не будет.
   Всего возможных числителей: \[ 132 \text{ числа от } 1 \text{ до } 132. \] «Плохие» числители (делящиеся на $7$ или на $19$): \[ 18 + 6 = 24. \] «Хорошие» числители (не делятся ни на $7$, ни на $19$): \[ 132 - 24 = 108. \] Каждое такое число даёт одну несократимую правильную дробь со знаменателем $133$.
   Ответ: несократимых правильных дробей со знаменателем $133$ — $108$.
8. Кто выполнил больший объём работы?
   Решение.
   Пусть всю работу разобьём на $60$ одинаковых частей. Это число удобно тем, что оно делится и на $12$, и на $15$. Первый рабочий выполняет всю работу за $12$ часов. Значит, за $1$ час он делает \[ 60 : 12 = 5 \] частей работы. Второй рабочий выполняет всю работу за $15$ часов. Значит, за $1$ час он делает \[ 60 : 15 = 4 \] части работы. Первый рабочий работал $5$ часов, значит он сделал \[ 5 \cdot 5 = 25 \] частей работы. Второй рабочий работал $7$ часов, значит он сделал \[ 4 \cdot 7 = 28 \] частей работы. Сравниваем: $25$ и $28$. Больше сделал второй рабочий. Найдём, во сколько раз $28$ больше $25$: \[ \frac{28}{25}. \] Ответ: второй рабочий выполнил больший объём работы, его объём больше в $\dfrac{28}{25}$ раза.
9. Потребуется кубиков:
   Решение.
   Объём коробки: \[ 4 \cdot 7 \cdot 5 = 140 \] единичных кубиков $1\times1\times1$. Объём одного большого кубика $2\times2\times2$: \[ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8. \] Чтобы использовать как можно меньше кубиков, нужно взять как можно больше больших кубиков.
   Максимумальное число больших кубиков, которое мы можем взять это 8 их объём равен $8 \cdot 17 = 136.$ 4 осталось заполнить 4 маленькими кубиками $17+4=21$
   Ответ:21
10. 
    Решение.
    Пусть стоящих пассажиров было 20 человек.
    Тогда сидячих в 6 раз больше: \[ 20 \times 6 = 120 \text{ человек.} \] Всего пассажиров было: \[ 20 + 120 = 140 \text{ человек.} \] Проверим: 140 меньше 150, значит условие выполняется. На остановке вышло 5% пассажиров.
    5% — это одна двадцатая часть. Найдём, сколько это человек: \[ \frac{1}{20} \text{ от } 140 = 140 : 20 = 7 \text{ человек.} \] Теперь найдём, сколько пассажиров осталось в вагоне: \[ 140 - 7 = 133. \] Ответ: 133 пассажира.
11. Число в центральной клетке:
    Решение.
    Обозначим число в центральной клетке через \(x\). Первая строка имеет вид \[ 5\ \ \square\ \ \square\ \ 4\ \ 3. \] В каждой строке должны стоять числа \(1,2,3,4,5\). В первой строке уже есть \(5,4,3\), значит в двух пустых клетках этой строки должны стоять числа \(1\) и \(2\). Рассмотрим побочную диагональ (из правого верхнего угла в левый нижний). На ней стоят числа \(3\) (в правом верхнем углу) и \(1\) (в левом нижнем углу). На диагонали должны встретиться все числа \(1,2,3,4,5\), поэтому в трёх остальных клетках этой диагонали, в том числе в центре, стоят числа \(2,4,5\). Следовательно, \[ x \in \{2,4,5\}. \] Рассмотрим главную диагональ (из левого верхнего угла в правый нижний). В левом верхнем углу уже стоит число \(5\). Остальные четыре клетки этой диагонали (включая центральную) должны содержать числа \(1,2,3,4\). Значит, \[ x \in \{1,2,3,4\}. \] Пересечём оба результата: \[ \{2,4,5\} \cap \{1,2,3,4\} = \{2,4\}, \] то есть в центре может быть только \(2\) или \(4\). Если пытаться заполнить квадрат при \(x=4\), то рано или поздно в какой-то строке или столбце одно и то же число придётся ставить два раза, и условия выполнить нельзя. При \(x=2\) квадрат можно заполнить полностью без противоречий. Следовательно, в центральной клетке стоит число \[ 2. \] Ответ: \(2\).
12. Количество ничьих:
    Решение.
    В турнире участвуют $5$ команд, каждая играет с каждой по одному разу. Посчитаем количество игр. Команда 1 играет с 4 командами, команда 2 (с учётом уже сыгранного матча с первой) — с 3 новыми, затем 2 и 1. Итого: \[ 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \] игр. В каждой игре возможны два варианта:
    • есть победитель: тогда даётся $3$ очка за игру (победителю $3$, проигравшему $0$);
    • ничья: тогда даётся $2$ очка за игру (по $1$ очку каждой команде).
    Если бы ничьих не было совсем, то каждая из $10$ игр давала бы по $3$ очка, и всего было бы набрано: \[ 10 \cdot 3 = 30 \] очков. По условию команды набрали $10$, $8$, $4$, $3$ и $1$ очко. Сложим: \[ 10 + 8 + 4 + 3 + 1 = 26. \] Значит, всего в турнире набрали $26$ очков. Разница между максимальным возможным числом очков (без ничьих) и реальным: \[ 30 - 26 = 4. \] Каждая ничья уменьшает общее количество очков на $1$ (вместо $3$ очков за игру получается $2$). Поэтому, если «потеряно» $4$ очка, то было $4$ ничьих. Ответ: в турнире было $4$ ничьих.
13. Диапазон весов:
    Решение.
    Обозначим: \[ K \text{ — сколько грибов принёс Коля до выбраковки (в кг),} \] \[ B \text{ — сколько грибов принёс Боря до выбраковки (в кг).} \] По условию: \[ 5 < K < 7, \] \[ 6 < B < 9. \] Из Колиной корзины мама выбросила больше $1{,}4$ кг, но меньше $2$ кг грибов. Пусть она выбросила $x$ кг, тогда \[ 1{,}4 < x 3. \] Максимально возможный вес у Коли после выбраковки меньше \[ 7 - 1{,}4 = 5{,}6, \] то есть \[ K_{\text{после}} < 5{,}6. \] Итак, \[ 3 < K_{\text{после}} < 5{,}6. \] Из Бориной корзины мама выбросила больше $1$ кг, но меньше $1{,}3$ кг грибов. Пусть она выбросила $y$ кг, тогда \[ 1 < y 4{,}7. \] Максимально возможный вес у Бори после выбраковки меньше \[ 9 - 1 = 8, \] то есть \[ B_{\text{после}} < 8. \] Итак, \[ 4{,}7 < B_{\text{после}} 3 + 4{,}7 = 7{,}7. \] Максимально возможный общий вес: \[ W < 5{,}6 + 8 = 13{,}6. \] Значит, стрелка весов наверняка остановится между делениями $7{,}7$ и $13{,}6$, что соответствует варианту под номером $2$.
14. Произведение чисел первой строки:
    Решение.
    Пусть в первой строке таблицы стоят числа $A$ и $B$, причём $A > B$. Во второй строке: произведение $AB$ и частное $A:B$. В третьей строке из чисел $AB$ и $A:B$ получаем: \[ (AB)\cdot(A:B) = A^2,\qquad (AB):(A:B) = B^2, \] то есть в третьей строке стоят $A^2$ и $B^2$. Аналогично, в четвёртой строке из $A^2$ и $B^2$ получаются $(AB)^2$ и $(A:B)^2$, а в пятой строке из них — $A^4$ и $B^4$. По условию в пятой строке записаны числа $625$ и $81$, значит \[ A^4 = 625 = 5^4,\qquad B^4 = 81 = 3^4, \] то есть $A = 5$, $B = 3$. Произведение чисел первой строки: \[ A\cdot B = 5\cdot 3 = 15. \] Ответ: $15$.
15. Количество подчеркнутых чисел:
    Решение.
    Рассмотрим два случая: 1) все четыре цифры одинаковые; 2) ровно три цифры одинаковые и одна другая. 1) Все четыре цифры одинаковые. Число имеет вид aaaa. Цифра a не может быть нулём, значит a может быть от 1 до 9. Таких чисел 9: 1111, 2222, $\dots$, 9999. 2) Ровно три одинаковые цифры и одна другая. Обозначим: A — цифра, которая встречается три раза, B — отличающаяся цифра. Случай, когда отличающаяся цифра стоит на первом месте: число вида BAAA. Первая цифра B может быть от 1 до 9 (9 вариантов). Цифра A может быть любой, кроме B (тоже 9 вариантов). Итого таких чисел: \[ 9 \cdot 9 = 81. \] Теперь случай, когда отличающаяся цифра стоит на одном из трёх последних мест: числа вида ABAA, AABA, AAAB. Первая цифра A не может быть нулём, значит A может быть от 1 до 9 (9 вариантов). Цифра B может быть любой, кроме A (9 вариантов). Положение B можно выбрать тремя способами (вторая, третья или четвёртая позиция). Всего таких чисел: \[ 9 \cdot 9 \cdot 3 = 243. \] Всего чисел с ровно тремя одинаковыми цифрами: \[ 81 + 243 = 324. \] Теперь учитываем оба случая: 9 чисел с четырьмя одинаковыми цифрами и 324 числа с ровно тремя одинаковыми. Итого: \[ 9 + 324 = 333. \] Ответ: 333 числа.
16. Решение. В доме на каждом этаже по $5$ квартир. Квартиры нумеруются подряд. В одном подъезде во всех этажах вместе одинаковое количество квартир, обозначим его пока неизвестным числом. Аня живёт в квартире номер $96$ на $2$-м этаже. На $2$-м этаже подъезда по счёту от начала подъезда стоят квартиры с $6$-й по $10$-ю. Значит, до начала её подъезда могло быть: \[ 96-5=91,\;96-6=90,\;96-7=89,\;96-8=88,\;96-9=87, \] то есть $87,88,89,90$ или $91$ квартир. Это количество квартир в целых подъездах, значит, каждое из этих чисел делится на число квартир в одном подъезде. Маша живёт в квартире номер $148$ на $6$-м этаже. На $6$-м этаже подъезда по счёту от начала стоят квартиры с $26$-й по $30$-ю. Значит, до начала её подъезда могло быть: \[ 148-25=123,\;148-26=122,\;148-27=121,\;148-28=120,\;148-29=119, \] то есть $119,120,121,122$ или $123$ квартиры. Это тоже количество квартир в целых подъездах, значит, каждое из этих чисел делится на число квартир в одном подъезде. Возьмём удобную пару чисел: $90$ (из первого набора) и $120$ (из второго набора). Они оба делятся на $30$: \[ 90 = 3 \cdot 30,\qquad 120 = 4 \cdot 30. \] Значит, число квартир в одном подъезде может быть равно $30$. Если в подъезде $30$ квартир и на каждом этаже по $5$ квартир, то число этажей: \[ 30 : 5 = 6. \] Ответ: в доме $6$ этажей.