МАОУ «СОШ № 146» г.Перми из 6 в 7 класс 2025 год вариант 1

МАОУ "СОШ № 146" г.Перми

2025

Вариант 1

1. Найдите значение выражения: \[ 14 - 13{,}2 \colon \Bigl(3\dfrac{11}{21} - 2\dfrac{4}{15}\Bigr). \]
2. Найдите неизвестный член пропорции \[ \frac{5}{6} \colon 7\dfrac{1}{3} = 1{,}6 \colon x. \]
3. Найдите число \(n\), если \[ \frac{4}{7}n \quad\text{равно}\quad 80% \text{ от } 40. \]
4. Луч \(OM\) разделил угол \(COD\) на два угла \(\angle COM\) и \(\angle MOD\) так, что угол \(COM\) составляет \(\tfrac{2}{3}\) угла \(MOD\). Найдите градусную меру угла \(COD\), если угол \(MOD\) больше угла \(COM\) на \(15^\circ\).
   
   
5. Роман состоит из трёх глав и занимает в книге 340 страниц. Число страниц второй главы составляет \(42\%\) числа страниц первой главы, а число страниц третьей главы составляет \(\tfrac{2}{3}\) числа страниц второй главы. Сколько страниц занимает третья глава романа?
6. Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 человек или по 12 человек в каждую. Сколько было экскурсанто, если их больше 80, но меньше 100?
7. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 115?
   
   
8. Расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) первый велосипедист проезжает за 8 часов, а второй — за 9 часов. Кто из них проедет больше: первый за 5 часов или второй за 7 часов? В ответе укажите, во сколько раз одно из расстояний больше другого.
   
   
9. Вам нужно заполнить коробку \(8\times5\times3\) кубиками двух типов: \(2\times2\times2\) и \(1\times1\times1\) так, чтобы в коробке не осталось пустого места и было использовано наименьшее количество кубиков. Сколько потребуется кубиков?
10. В автобусе ехали меньше 100 человек, причём число сидящих пассажиров было вдвое больше числа стоящих. На остановке \(4\%\) пассажиров вышли. Сколько пассажиров осталось в автобусе?
11. Таблицу (см. рис.) нужно заполнить, используя числа 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждое число появилось в каждом столбце, каждой строке и каждой диагонали по одному разу. Первые несколько чисел уже расставлены. Какое число будет в центральной клетке?
    
    
    
12. В турнире участвуют 4 футбольные команды. Каждая команда встречается с каждой другой. За победу начисляется 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 5, 3, 3 и 2 очка. Сколько было ничьих?
13. Лена и Галя пошли в лес за ягодами. Лена набрала больше 2 кг, но меньше 3 кг, а Галя — больше 3 кг, но меньше 4 кг. По дороге домой они часть ягод съели, Лена — больше, чем 100 г, но меньше, чем 300 г, а Галя — больше, чем 200 г, но меньше, чем 500 г. Дома они взвесили все оставшиеся ягоды вместе. Между какими делениями наверняка остановится стрелка весов? В ответе укажите номер выбранного варианта:
    1. 4,7 и 6,2
    2. 4,2 и 6,2
    3. 4,2 и 6,7
    4. 4,4 и 6,7
    5. не хватает данных
    
    
    
14. Таблица состоит из двух строк, в каждом столбце которой, начиная со второго, записаны сумма и разность предыдущего столбца (всегда из большего числа вычитают меньшее). Найдите сумму чисел первого столбца этой таблицы, если в седьмом столбце стоят числа 96 и 64.
15. Маша выписала все трёхзначные числа от 100 до 999 и подчеркнула те из них, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры. Сколько чисел она подчеркнула?
16. Коля и Вася живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено 4 квартиры. Коля живёт на 5‑м этаже в квартире № 83, а Вася — на 3‑м этаже в квартире № 169. Сколько этажей в доме?
    
    

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 14 - 13{,}2 \colon \Bigl(3\dfrac{11}{21} - 2\dfrac{4}{15}\Bigr). \]
   Решение: \[ 3\dfrac{11}{21} = \dfrac{74}{21},\quad 2\dfrac{4}{15} = \dfrac{34}{15} \] \[ \dfrac{74}{21} - \dfrac{34}{15} = \dfrac{74 \times 5 - 34 \times 7}{105} = \dfrac{396}{315} = \dfrac{44}{35} \] \[ 13{,}2 \colon \dfrac{44}{35} = \dfrac{132}{10} \times \dfrac{35}{44} = 13{,}2 \times \dfrac{35}{44} = 10{,}5 \] \[ 14 - 10{,}5 = 3{,}5 \] Ответ: \(3{,}5\).
2. Найдите неизвестный член пропорции \[ \frac{5}{6} \colon 7\dfrac{1}{3} = 1{,}6 \colon x. \]
   Решение: \[ 7\dfrac{1}{3} = \dfrac{22}{3} \] \[ \dfrac{5}{6} \colon \dfrac{22}{3} = 1{,}6 \colon x \quad \Rightarrow \quad \dfrac{5}{6} \times x = \dfrac{22}{3} \times 1{,}6 \] \[ x = \dfrac{35{,}2}{5} \times \dfrac{3}{22} = \dfrac{35{,}2 \times 3}{110} = 14{,}08 \] Ответ: \(14{,}08\).
3. Найдите число \(n\), если \[ \frac{4}{7}n \quad \text{равно} \quad 80% \text{ от } 40. \]
   Решение: \[ 80% \text{ от } 40 = 0{,}8 \times 40 = 32 \] \[ \dfrac{4}{7}n = 32 \quad \Rightarrow \quad n = 32 \times \dfrac{7}{4} = 56 \] Ответ: \(56\).
4. Луч \(OM\) разделил угол \(COD\) на два угла \(\angle COM\) и \(\angle MOD\) так, что угол \(COM\) составляет \(\tfrac{2}{3}\) угла \(MOD\). Найдите градусную меру угла \(COD\), если угол \(MOD\) больше угла \(COM\) на \(15^\circ\).
   Решение: Пусть \(\angle COM = x\), тогда \(\angle MOD = x + 15^\circ\). \[ x = \dfrac{2}{3}(x + 15^\circ) \quad \Rightarrow \quad 3x = 2x + 30^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 30^\circ \] \[ \angle COD = x + (x + 15^\circ) = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ \] Ответ: \(75^\circ\).
5. Роман состоит из трёх глав и занимает в книге 340 страниц. Число страниц второй главы составляет \(42\%\) числа страниц первой главы, а число страниц третьей главы составляет \(\tfrac{2}{3}\) числа страниц второй главы. Сколько страниц занимает третья глава романа?
   Решение: Пусть первая глава — \(x\) страниц. \[ \text{Вторая глава: } 0{,}42x, \quad \text{Третья глава: } \dfrac{2}{3} \times 0{,}42x = 0{,}28x \] \[ x + 0{,}42x + 0{,}28x = 1{,}7x = 340 \quad \Rightarrow \quad x = 200 \] \[ \text{Третья глава: } 0{,}28 \times 200 = 56 \] Ответ: \(56\).
6. Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 человек или по 12 человек в каждую. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100?
   Решение: Наименьшее общее кратное 8 и 12 — 24. Ближайшее кратное 24 в диапазоне 80-100: \(24 \times 4 = 96\). Ответ: \(96\).
7. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 115?
   Решение:\ \(115 = 5 \times 23\). Числители меньше 115, не кратные 5 или 23. \[ \phi(115) = 115 \left(1 - \dfrac{1}{5}\right)\left(1 - \dfrac{1}{23}\right) = 115 \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{22}{23} = 88 \] Ответ: \(88\).
8. Расстояние от пункта \(A\) до пункта \(B\) первый велосипедист проезжает за 8 часов, а второй — за 9 часов. Кто из них проедет больше: первый за 5 часов или второй за 7 часов? В ответе укажите, во сколько раз одно из расстояний больше другого.
   Решение: Пусть расстояние \(S\). Скорости: \(\dfrac{S}{8}\) и \(\dfrac{S}{9}\). \[ \text{Первый за 5 ч: } 5 \times \dfrac{S}{8} = \dfrac{5S}{8}, \quad \text{Второй за 7 ч: } 7 \times \dfrac{S}{9} = \dfrac{7S}{9} \] \[ \dfrac{7S/9}{5S/8} = \dfrac{56}{45} \approx 1{,}24 \] Ответ: \(\dfrac{56}{45}\).
9. Вам нужно заполнить коробку \(8\times5\times3\) кубиками двух типов: \(2\times2\times2\) и \(1\times1\times1\) так, чтобы в коробке не осталось пустого места и было использовано наименьшее количество кубиков. Сколько потребуется кубиков?
   Решение: Максимально больших кубиков: \(4 \times 2 \times 1 = 8\) (объём \(64\)). Остаток: \(120 - 64 = 56\). Кубиков \(1\times1\times1\): 56. Всего: \(8 + 56 = 64\). Ответ: \(64\).
10. В автобусе ехали меньше 100 человек, причём число сидящих пассажиров было вдвое больше числа стоящих. На остановке \(4\%\) пассажиров вышли. Сколько пассажиров осталось в автобусе?
    Решение: Пусть стоящих: \(x\), тогда сидящих: \(2x\). Всего: \(3x\). Число должно быть кратно 25 (\(4\%\) — целое). Подходит \(3x = 75\), осталось \(0{,}96 \times 75 = 72\). Ответ: \(72\).
11. Таблицу нужно заполнить числами 1-5, соблюдая условия. Центральная клетка: **3**.
    Ответ: \(3\).
12. В турнире участвуют 4 футбольные команды. Каждая команда встречается с каждой другой. Сколько было ничьих?
    Решение: Всего игр: 6. Если все игры завершились победами, набрано \(6 \times 3 = 18\) очков. Реально: \(5 + 3 + 3 + 2 = 13\). Разница: \(5\) — число ничьих (каждая добавляет 2 вместо 3 очков). Ответ: \(5\).
13. Между делениями весов. Ответ: \(\boxed{C}\).
14. Сумма чисел первого столбца таблицы: **20**.
15. Число трёхзначных чисел с хотя бы двумя одинаковыми цифрами: **252**.
16. Количество этажей в доме: **8**.