Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 9 в 10 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант Юайти 1 (переход 9 $\to$ 10 класс)

2026

1. Вычислите: $\displaystyle \sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt{7+4\sqrt3}$.
2. Упростите: $\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-4x+3}:\frac{x-1}{x-3}$ (при допустимых $x$).
3. Решите уравнение: $|2x-5|+|x+1|=10$.
4. Решите уравнение: $\displaystyle \sqrt{x+5}+\sqrt{9-x}=5$.
5. Решите неравенство: $\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-1}\ge 0$.
6. Найдите все пары целых $(x,y)$, удовлетворяющие $x^2+y^2=25$.
7. Пусть $a,b$ — корни уравнения $t^2-5t+2=0$. Найдите $a^2+b^2$ и $a^3+b^3$.
8. Найдите наименьшее натуральное $n$, при котором $n\equiv 3 \pmod 8$ и $n\equiv 4 \pmod 9$.
9. Докажите, что число $n^3+2n$ делится на $3$ при любом целом $n$.
10. Найдите остаток при делении на $7$ числа $3^{2026}+4^{2026}$.
11. В арифметической прогрессии $a_1=7$, $a_{10}=34$. Найдите сумму $a_1+a_2+\dots+a_{10}$.
12. В треугольнике со сторонами $13,14,15$ найдите радиус вписанной окружности.
13. В окружности радиуса $10$ проведена хорда длины $12$. Найдите расстояние от центра до хорды.
14. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) дано $AC=9$, $BC=12$. Найдите длину медианы $CM$ к гипотенузе.
15. Сколькими способами можно выбрать 5 чисел из $\{1,2,\dots,12\}$ так, чтобы их сумма была чётной?
16. На доске написано число $1$. За ход разрешается либо прибавить $5$, либо умножить на $2$. Можно ли получить число $2026$? (Обоснуйте.)