8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 9 в 10 класс 15 марта 2026

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 15.03.2026

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


Вариант 1 (переход 9 $\to$ 10 класс)


Письменная математика


15 марта 2026

  1. Решите уравнение: \[ (x+2)\sqrt{x^3-4x^2+1}=x^2+x-2 \]
  2. Запишите уравнение окружности с центром в точке \((6;-2)\), касающейся прямой \(y=x\).
  3. Решите неравенство: \[ \sqrt{x^2-5x+4}>-2x-2 \]
  4. Сторона квадрата равна \(1\). Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т.\,д. Найти сумму периметров этих квадратов.
  5. При каких значениях параметра \(b\) уравнение \[ |x|+b=\left||x-1|-3\right| \] имеет бесконечно много решений?
  6. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-4x+5xy=2,\\ y^2-2x+2xy=1 \end{array} \right. \]
  7. Решите неравенство: \[ |x^2-2x-2|>x-2 \]
  8. Дана точка \(P\), удаленная на расстояние, равное \(4\), от центра окружности, радиус которой равен \(6\). Через точку \(P\) проведена хорда, равная \(9\). Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой \(P\).
  9. В прямоугольник со сторонами \(27\) и \(41\) вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как \(3:1\) (см.\ рисунок). Найдите периметр меньшего прямоугольника.
  10. Дана трапеция \(ABCD\), ее основания \(BC\) и \(AD\) равны \(3\) и \(6\) соответственно. Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(P\) – середина \(OD\). Найдите площадь четырехугольника \(ABCP\), если площадь треугольника \(ABO\) равна \(8\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


Вариант 1 (переход 9 $\to$ 10 класс)


Письменная математика. Решения


15 марта 2026

  1. Задача. Решите уравнение: \[ (x+2)\sqrt{x^3-4x^2+1}=x^2+x-2. \]
    Решение. Сначала учтём область допустимых значений: \[ x^3-4x^2+1\ge 0. \] Правая часть раскладывается на множители: \[ x^2+x-2=(x+2)(x-1). \] Тогда уравнение принимает вид \[ (x+2)\sqrt{x^3-4x^2+1}=(x+2)(x-1). \] Значение \(x=-2\) не подходит, так как при нём подкоренное выражение равно \(-23\). Поэтому можно разделить обе части на \(x+2\): \[ \sqrt{x^3-4x^2+1}=x-1. \] Левая часть неотрицательна, значит, \(x-1\ge 0\), то есть \(x\ge 1\). Возведём обе части в квадрат: \[ x^3-4x^2+1=(x-1)^2. \] Получаем \[ x^3-5x^2+2x=0, \] \[ x(x^2-5x+2)=0. \] Так как \(x\ge 1\), корень \(x=0\) не подходит. Из квадратного уравнения имеем \[ x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}. \] Из этих двух корней условию \(x\ge 1\) удовлетворяет только \[ x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}. \]
    Ответ. \(\displaystyle x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\).
  2. Задача. Запишите уравнение окружности с центром в точке \((6;-2)\), касающейся прямой \(y=x\).
    Решение. Радиус окружности равен расстоянию от её центра до прямой \(y=x\). Запишем прямую в виде \[ x-y=0. \] Тогда расстояние от точки \((6;-2)\) до этой прямой равно \[ r=\frac{|6-(-2)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}. \] Значит, \(r^2=32\). Уравнение окружности с центром \((6;-2)\) имеет вид \[ (x-6)^2+(y+2)^2=32. \]
    Ответ. \((x-6)^2+(y+2)^2=32\).
  3. Задача. Решите неравенство: \[ \sqrt{x^2-5x+4}>-2x-2. \]
    Решение. Сначала найдём область допустимых значений: \[ x^2-5x+4\ge 0, \] \[ (x-1)(x-4)\ge 0. \] Отсюда \[ x\le 1 \ \text{или}\ x\ge 4. \] Теперь рассмотрим два случая. Если \[ -2x-2-1\), то неравенство выполняется автоматически, потому что левая часть неотрицательна. С учётом области допустимых значений получаем \[ -1(-2x-2)^2. \] Получаем \[ x^2-5x+4>4x^2+8x+4, \] \[ 3x^2+13x<0, \] \[ x(3x+13)<0. \] Отсюда \[ -\frac{13}{3}<x<0. \] С учётом условия \(x\le -1\) имеем \[ -\frac{13}{3}<x\le -1. \] Объединяя оба случая, получаем \[ -\frac{13}{3}<x\le 1 \ \text{или}\ x\ge 4. \]
    Ответ. \(\displaystyle \left(-\frac{13}{3},\,1\right]\cup [4,\,+\infty)\).
  4. Задача. Сторона квадрата равна \(1\). Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и так далее. Найти сумму периметров этих квадратов.
    Решение. Периметр исходного квадрата равен $4$. Если соединить середины сторон квадрата со стороной \(a\), то получится квадрат со стороной \[ \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}. \] Значит, каждый следующий периметр в \(\sqrt{2}\) раз меньше предыдущего. Получаем бесконечную геометрическую прогрессию: \[ 4+\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{4}{2}+\ldots \] с первым членом \(4\) и знаменателем \[ q=\frac{1}{\sqrt{2}}. \] Сумма этой прогрессии равна \[ S=\frac{4}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=8+4\sqrt{2}. \]
    Ответ. \(8+4\sqrt{2}\).
  5. Задача. При каких значениях параметра \(b\) уравнение \[ |x|+b=\left||x-1|-3\right| \] имеет бесконечно много решений?
    Решение. Рассмотрим функцию \[ g(x)=\left||x-1|-3\right|. \] Она задаётся так: \[ g(x)= \begin{cases} -x-2, & x\le -2, \\ x+2, & -2\le x\le 1, \\ 4-x, & 1\le x\le 4, \\ x-4, & x\ge 4. \end{cases} \] Левая часть уравнения равна \[ |x|+b= \begin{cases} -x+b, & x\le 0, \\ x+b, & x\ge 0. \end{cases} \] Бесконечно много решений будет тогда, когда графики совпадут на некотором промежутке. Это возможно только при совпадении линейных кусков с одинаковыми угловыми коэффициентами. Получаем три случая: \[ -x+b=-x-2 \quad \Rightarrow \quad b=-2 \] на луче \(x\le -2\), \[ x+b=x+2 \quad \Rightarrow \quad b=2 \] на отрезке \(0\le x\le 1\), \[ x+b=x-4 \quad \Rightarrow \quad b=-4 \] на луче \(x\ge 4\). Других случаев нет, потому что на остальных участках наклоны прямых различны.
    Ответ. \(b=-4,\,-2,\,2\).
  6. Задача. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-4x+5xy=2,\\ y^2-2x+2xy=1. \end{array} \right. \]
    Решение. Второе уравнение можно разложить на множители: \[ y^2-2x+2xy-1=0, \] \[ y^2-1+2x(y-1)=0, \] \[ (y-1)(y+1+2x)=0. \] Поэтому возможны два случая. Если $y=1$, то из первого уравнения получаем \[ x^2-4x+5x=2, \] \[ x^2+x-2=0, \] \[ (x+2)(x-1)=0. \] \[ x=-2 \ \text{или}\ x=1. \] \[ (-2;1),\ (1;1). \] Если $y+1+2x=0$, то \[ y=-2x-1. \] Подставим это в первое уравнение: \[ x^2-4x+5x(-2x-1)=2, \] \[ x^2-4x-10x^2-5x=2, \] \[ 9x^2+9x+2=0. \] \[ (3x+1)(3x+2)=0. \] \[ x=-\frac{1}{3} \ \text{или}\ x=-\frac{2}{3}. \] Тогда \[ y=-2x-1, \] поэтому получаем ещё два решения: \[ \left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right),\ \left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right). \]
    Ответ. \(\displaystyle (-2;1),\ (1;1),\ \left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right),\ \left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\).
  7. Задача. Решите неравенство: \[ |x^2-2x-2|>x-2. \]
    Решение. Рассмотрим два случая. Если \[ x<2, \] то правая часть отрицательна, а левая часть неотрицательна. Значит, неравенство выполняется для всех \(xx-2 \] или \[ x^2-2x-20, \] \[ x(x-3)>0, \] откуда при \(x\ge 2\) \[ x>3. \] Из второго неравенства получаем \[ x^2-x-4<0. \] Корни уравнения \[ x^2-x-4=0 \] равны \[ x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}. \] Поэтому \[ \frac{1-\sqrt{17}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{17}}{2}. \] С учётом условия \(x\ge 2\) получаем \[ 2\le x<\frac{1+\sqrt{17}}{2}. \] Объединяя все найденные значения, получаем \[ x<2 \quad \text{или} \quad 2\le x3. \]
    Ответ. \(\displaystyle \left(-\infty,\,\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\cup (3,\,+\infty)\).
  8. Задача. Дана точка \(P\), удалённая на расстояние \(4\) от центра окружности радиуса \(6\). Через точку \(P\) проведена хорда длины \(9\). Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой \(P\).
    Решение. Пусть точка \(P\) делит хорду на отрезки длины \(a\) и \(b\). Тогда \[ a+b=9. \] Так как точка \(P\) находится внутри окружности, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд имеем \[ ab=R^2-OP^2. \] Здесь \[ R=6,\quad OP=4, \] поэтому \[ ab=6^2-4^2=36-16=20. \] Нужно найти два числа, сумма которых равна \(9\), а произведение равно \(20\). Это числа \(4\) и \(5\).
    Ответ. \(4\) и \(5\).
  9. Задача. В прямоугольник со сторонами \(27\) и \(41\) вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как \(3:1\). Найдите периметр меньшего прямоугольника.
    Решение. Пусть стороны меньшего прямоугольника равны \(3k\) и \(k\), а угол между большей стороной и горизонтальной стороной большого прямоугольника равен \(\alpha\). Тогда по рисунку горизонтальные проекции сторон дают ширину \(41\), а вертикальные проекции дают высоту \(27\): \[ 3k\cos\alpha+k\sin\alpha=41, \] \[ 3k\sin\alpha+k\cos\alpha=27. \] Обозначим \[ u=k\cos\alpha,\qquad v=k\sin\alpha. \] Тогда получаем систему \[ \left\{ \begin{array}{l} 3u+v=41,\\ u+3v=27. \end{array} \right. \] Решая её, находим: \[ u=12,\qquad v=5. \] Тогда \[ k^2=u^2+v^2=12^2+5^2=169, \] \[ k=13. \] Следовательно, стороны меньшего прямоугольника равны \[ 13 \ \text{и}\ 39. \] Его периметр равен \[ 2(13+39)=104. \]
    Ответ. \(104\).
  10. Задача. Дана трапеция \(ABCD\), её основания \(BC\) и \(AD\) равны \(3\) и \(6\) соответственно. Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(P\) – середина \(OD\). Найдите площадь четырёхугольника \(ABCP\), если площадь треугольника \(ABO\) равна \(8\).
    Решение. В трапеции точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований: \[ \frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{6}{3}=2, \qquad \frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}. \] Так как треугольники \(ABO\) и \(BCO\) имеют общую высоту к диагонали \(AC\), то \[ \frac{S_{ABO}}{S_{BCO}}=\frac{AO}{OC}=2. \] Значит, \[ S_{BCO}=4. \] Теперь треугольники \(BCO\) и \(COD\) имеют общую высоту к диагонали \(BD\), поэтому \[ \frac{S_{BCO}}{S_{COD}}=\frac{BO}{OD}=\frac{1}{2}. \] Отсюда \[ S_{COD}=8. \] Далее треугольники \(AOD\) и \(COD\) имеют общую высоту к диагонали \(AC\), значит, \[ \frac{S_{AOD}}{S_{COD}}=\frac{AO}{OC}=2, \] поэтому \[ S_{AOD}=16. \] Следовательно, площадь всей трапеции равна \[ S_{ABCD}=8+4+8+16=36. \] Так как \(P\) – середина \(OD\), то в треугольниках \(AOD\) и \(COD\) отрезок \(PD\) вдвое меньше \(OD\). Значит, \[ S_{APD}=\frac{1}{2}S_{AOD}=8, \qquad S_{CPD}=\frac{1}{2}S_{COD}=4. \] Тогда \[ S_{ABCP}=S_{ABCD}-S_{APD}-S_{CPD}=36-8-4=24. \]
    Ответ. \(24\).
Материалы школы Юайти