Юайти ✕ Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 8 в 9 класс 2026 год | Вариант 5

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 5 (8 $\to$ 9 класс)

2026 год

1. Упростите: $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}$ (при $a\ge 1$).
2. Вычислите: $\displaystyle \frac{12}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{12}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$.
3. Решите уравнение: $x^2-12x+20=4|x-2|$.
4. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{12}{x+15}=1$.
5. Решите неравенство: $|x-4|\le \dfrac{x+2}{2}$.
6. Найдите все решения системы: $\begin{cases} x+y=7 & \\ xy=10 & \end{cases}$.
7. Пусть $x_1,x_2$ — корни $x^2-3x-1=0$. Найдите значение $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ и $\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$ с помощью теоремы Виета.
8. Постройте график $y=|x^2-2x|-|x-1|$ и найдите все $x$, при которых $y\ge 0$.
9. Докажите, что $n^5-n$ делится на $5$ при любом целом $n$.
10. Найдите остаток при делении на $8$ числа $3^{2026}+5^{2026}$.
11. Найдите все целые $n$, при которых $n^2+1$ делится на $5$.
12. Про треугольник $ABC$ известно, что $AB=10$, $AC=24$, $BC=26$. Найдите площадь треугольника.
13. В окружности радиуса $13$ длина хорды равна $24$. Найдите расстояние от центра до хорды.
14. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на полке так, чтобы книга по геометрии не стояла рядом с книгой по алгебре?
15. На доске написано число $1$. За ход можно либо прибавить $3$, либо умножить на $2$. Можно ли получить число $2026$? (Обоснуйте.)