Юайти ✕ Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 7 в 8 класс 2026 год | Вариант 5

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 5 (7 $\to$ 8 класс)

2026 год

1. Сократите дробь: $\displaystyle \frac{(50a^2)^3\,(2a^3b)^2}{(10a^4b)^2\,(5a)^3}$.
2. Разложите на множители: $p^2-1-2p(q-1)-(q-1)^2$.
3. Упростите: $\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+2x+1}\cdot\frac{x+1}{x-1}$ (при допустимых $x$).
4. Решите уравнение: $x^2-6x+5=0$.
5. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=1$.
6. Делимость. Докажите, что $3^{2n}-1$ делится на $8$ при любом натуральном $n$.
7. Остатки. Найдите остаток при делении на $7$ числа $2^{2026}+3^{2026}$.
8. НОД. Найдите $\ НОД(84,126)$ и представьте его в виде $84u+126v$ для некоторых целых $u,v$ (найдите любые подходящие $u,v$).
9. Текстовая (работа). Бригада из 3 человек делает работу за 10 дней. Когда к ним присоединился ещё один человек той же производительности, работу сделали за 8 дней. За сколько дней сделала бы работу бригада из 4 человек, если бы работала с самого начала?
10. Смеси. Смешали $x$ л $40\%$ раствора и $6$ л воды, получив $25\%$ раствор. Найдите $x$.
11. Геометрия. В треугольнике стороны $13$, $14$, $15$. Найдите его площадь (например, по формуле Герона).
12. Окружность и хорда. Радиус окружности $10$. Расстояние от центра до хорды равно $6$. Найдите длину хорды.
13. Комбинаторика. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на полке так, чтобы две заданные книги не стояли рядом?
14. Комбинаторика (разбиения). Сколькими способами можно представить число $12$ в виде суммы трёх положительных целых чисел, если порядок слагаемых не важен?
15. Игра. На доске число $45$. Игроки по очереди вычитают $1$, $3$ или $4$. Проигрывает тот, кто получает $0$. Кто выигрывает при правильной игре?
16. Инвариант/раскраска. Можно ли разрезать прямоугольник $7\times 7$ на домино $1\times 2$? Если нельзя — докажите, если можно — приведите пример.