Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 7 в 8 класс 2026 год Вариант Юайти 4

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 4 (7 $\to$ 8 класс)

2026 год

1. Сократите дробь: $\displaystyle \frac{(18x^2y)^2\,(5xy^3)^3}{(15x^3y^2)^2\,(6y^2)^2}$.
2. Упростите: $\displaystyle \frac{x^2-4x}{x^2-16}\cdot\frac{x+4}{x}$ (при допустимых $x$).
3. Решите уравнение: $(2x-1)^2-(x+3)^2=0$.
4. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x^2-1}$.
5. Неравенство. Докажите, что для любых действительных $a,b$ верно: $(a-b)^2\ge 0$, и выведите из этого, что $a^2+b^2\ge ab$.
6. Делимость. Найдите все цифры $k$, при которых число $7k2$ делится на $9$.
7. Числа. Найдите наименьшее натуральное $n$, такое что $n$ делится на $8$, $12$ и $15$.
8. Текстовая (скорость). По круговой трассе длиной $24$ км два бегуна стартовали одновременно в одном направлении. Скорость первого $10$ км/ч, второго $8$ км/ч. Через сколько минут первый догонит второго?
9. Текстовая (процент). Товар подешевел на $15\%$, затем подорожал на $15\%$. Станет ли цена прежней? Если нет, то на сколько процентов отличается от прежней?
10. Геометрия. В равнобедренной трапеции основания $10$ и $18$, боковая сторона $5$. Найдите высоту трапеции.
11. Углы. Внешний угол треугольника равен $140^\circ$. Один из внутренних несмежных с ним углов равен $45^\circ$. Найдите остальные углы.
12. Комбинаторика. Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 12 так, чтобы среди выбранных было чётное число девочек, если девочек 7, мальчиков 5?
13. Логика. На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Трое сказали: 1) «Мы все лжецы». 2) «Ровно один из нас рыцарь». 3) «Первый — рыцарь». Определите, кто есть кто.
14. Клетки. На доске $8\times 8$ закрасили все клетки, у которых сумма координат (строка+столбец, начиная с 1) чётна. Сколько закрашено?
15. Граф/принцип Дирихле. В классе 21 ученик. Докажите, что найдутся двое, у которых дни рождения приходятся на один и тот же день недели.