8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 9 в 10 класс 2024 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2024
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2024
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2024 год


31.03.2024



  1. Решите неравенство: \[ \left| 10 + \frac{24}{x} \right| < -x \]

  2. Решите неравенство: \[ \sqrt{1 - x^2} \geq \frac{4}{3}x \]

  3. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 - xy = 16 \\ y^2 + xy = 24 \end{cases} \]

  4. Найдите все натуральные числа $m, n$, удовлетворяющие равенству: \[ mn = 4(m - n) \]

  5. Пусть $x_1, x_2$ — корни уравнения \[ x^2 - ax + (a - 7)^2 = 0. \] Найдите все значения параметра $a$, при которых \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 4. \]

  6. На параболе $y = x^2$ взяли три точки $A, B, C$ так, что прямая $AB$ параллельна оси $Ox$ и $\angle ACB = 90^\circ$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.

  7. Войсковая колонна имеет длину 7 км. Связной, выехав из арьергарда колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 24 км. Какой путь проехал связной?

  8. На гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 и 6 снаружи построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла до центра квадрата.

  9. Окружности с радиусами 5 и 12 касаются изнутри в точке $C$. Точки $A$ и $B$ лежат на разных окружностях, при этом отрезки $AC$ и $BC$ равны и перпендикулярны. Найдите $AB$.

  10. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 7 и 3, а диагонали 6 и 8.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ \left| 10 + \frac{24}{x} \right| < -x \]
    Решение: Модуль всегда неотрицателен, правая часть $-x$ должна быть положительной $\Rightarrow x < 0$.
    Неравенство принимает вид: \[ 10 + \frac{24}{x} x \] Умножим обе части на $x$ (учитывая $x -x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 10x + 24 > 0 \quad \Rightarrow \quad (x+6)(x+4) > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -6) \cup (-4; +\infty) \] \[ 10x + 24 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; 5 - \sqrt{49}) \cup (5 + \sqrt{49}; +\infty) = (-\infty; -2) \cup (12; +\infty) \] Пересечение с $x < 0$: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; -2)$.
    Проверка интервалов:
    • $x \in (-\infty; -6)$: подходит
    • $x \in (-4; -2)$: подходит
    Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; -2)$.

  2. Решите неравенство: \[ \sqrt{1 - x^2} \geq \frac{4}{3}x \]
    Решение: Область определения: $1 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-1; 1]$.
    Правая часть $\frac{4}{3}x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$.
    Объединяя: $x \in [0; 1]$.
    Возведём в квадрат: \[ 1 - x^2 \geq \frac{16}{9}x^2 \quad \Rightarrow \quad 1 \geq \frac{25}{9}x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq \frac{9}{25} \quad \Rightarrow \quad x \in \left[0; \frac{3}{5}\right] \] Ответ: $x \in \left[0; \frac{3}{5}\right]$.

  3. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2 - xy = 16 \\ y^2 + xy = 24 \end{cases} \]
    Решение: Сложим уравнения: \[ x^2 + y^2 = 40 \] Вычтем первое из второго: \[ y^2 + xy - (x^2 - xy) = 24 - 16 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 2xy - x^2 = 8 \] Обозначим $S = x + y$, $P = xy$. Из первого уравнения системы: \[ x^2 - P = 16 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 16 + P \] Из второго уравнения: \[ y^2 + P = 24 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 24 - P \] Сумма квадратов: \[ 16 + P + 24 - P = 40 \quad \Rightarrow \quad 40 = 40 \quad (\text{верно}) \] Из уравнения $y^2 + 2xy - x^2 = 8$: \[ (24 - P) + 2P - (16 + P) = 8 \quad \Rightarrow \quad 24 - P + 2P - 16 - P = 8 \quad \Rightarrow \quad 8 = 8 \] Система сводится к $x^2 + y^2 = 40$ и $xy = 8$. Решаем: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 40 + 16 = 56 \quad \Rightarrow \quad x + y = \pm \sqrt{56} = \pm 2\sqrt{14} \] \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 40 - 16 = 24 \quad \Rightarrow \quad x - y = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \] Решения: \[ \begin{cases} x = \sqrt{14} + \sqrt{6} \\ y = \sqrt{14} - \sqrt{6} \end{cases}, \quad \begin{cases} x = -\sqrt{14} - \sqrt{6} \\ y = -\sqrt{14} + \sqrt{6} \end{cases}, \quad \text{и аналогично для других комбинаций знаков} \] Ответ: $\left( \pm (\sqrt{14} + \sqrt{6}), \pm (\sqrt{14} - \sqrt{6}) \right)$.

  4. Найдите все натуральные числа $m, n$, удовлетворяющие равенству: \[ mn = 4(m - n) \]
    Решение: Перепишем уравнение: \[ mn + 4n = 4m \quad \Rightarrow \quad n(m + 4) = 4m \quad \Rightarrow \quad n = \frac{4m}{m + 4} \] Поскольку $n$ натуральное, $m + 4$ должно делить $4m$. Рассмотрим делители 16: \[ m + 4 \in \{8, 16\} \quad \Rightarrow \quad m = 4, 12 \] Подставляем:
    • $m = 4$: $n = \frac{16}{8} = 2$
    • $m = 12$: $n = \frac{48}{16} = 3$
    Ответ: $(4, 2)$, $(12, 3)$.

  5. Найдите все значения параметра $a$, при которых \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 4 \] для корней уравнения $x^2 - ax + (a - 7)^2 = 0$.
    Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = a, \quad x_1x_2 = (a - 7)^2 \] Пусть $s = \sqrt{x_1}$, $t = \sqrt{x_2}$. Тогда: \[ s + t = 4, \quad s^2 + t^2 = a, \quad s^2t^2 = (a - 7)^2 \] Из $s + t = 4$: \[ s^2 + t^2 = 16 - 2st \quad \Rightarrow \quad a = 16 - 2st \] Подставляем в $s^2t^2 = (a - 7)^2$: \[ (st)^2 = (16 - 2st - 7)^2 \quad \Rightarrow \quad (st)^2 = (9 - 2st)^2 \] Решаем: \[ st = 9 - 2st \quad \Rightarrow \quad 3st = 9 \quad \Rightarrow \quad st = 3 \] \[ st = -9 + 2st \quad \Rightarrow \quad st = 9 \quad (\text{то же самое}) \] Тогда $a = 16 - 2 \cdot 3 = 10$. Проверка корней при $a = 10$: \[ x^2 - 10x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, 9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} + \sqrt{9} = 4 \] Ответ: $a = 10$.

  6. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, если $AB$ параллельна оси $Ox$ и $\angle ACB = 90^\circ$ на параболе $y = x^2$.
    Решение: Пусть $A(a, a^2)$, $B(b, a^2)$ (так как $AB$ горизонтальна). Точка $C(c, c^2)$. Условие перпендикулярности: \[ (a - c)(b - c) + (a^2 - c^2)^2 = 0 \] Расстояние от $C$ до $AB$: \[ |c^2 - a^2| \] Параметризуем $A(-k, k^2)$, $B(k, k^2)$. Тогда уравнение для $C$: \[ (c + k)(c - k) + (c^2 - k^2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 - k^2 + (c^2 - k^2)^2 = 0 \] Пусть $t = c^2 - k^2$: \[ t + t^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0 \text{ (не подходит)} \quad \text{или} \quad t = -1 \quad \Rightarrow \quad c^2 = k^2 - 1 \] Расстояние: \[ |c^2 - k^2| = |-1| = 1 \] Ответ: 1.

  7. Войсковая колонна длиной 7 км. Связной проехал из конца в начало и обратно. Колонна прошла 24 км. Найдите путь связного.
    Решение: Пусть $v$ — скорость колонны, $u$ — скорость связного. Время движения связного: \[ t = \frac{7}{u - v} + \frac{7}{u + v} = \frac{24}{v} \] Решаем уравнение: \[ 7 \left( \frac{1}{u - v} + \frac{1}{u + v} \right) = \frac{24}{v} \quad \Rightarrow \quad \frac{14u}{u^2 - v^2} = \frac{24}{v} \] Пусть $u = kv$: \[ \frac{14k}{k^2 - 1} = 24 \quad \Rightarrow \quad 14k = 24(k^2 - 1) \quad \Rightarrow \quad 12k^2 - 7k - 12 = 0 \] Решая квадратное уравнение: \[ k = \frac{7 \pm 25}{24} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{4}{3} \] Путь связного: \[ u \cdot t = \frac{4}{3}v \cdot \frac{24}{v} = 32 \text{ км} \] Ответ: 32 км.

  8. Найдите расстояние от вершины прямого угла до центра квадрата, построенного на гипотенузе треугольника с катетами 2 и 6.
    Решение: Гипотенуза $AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}$. Центр квадрата — середина гипотенузы $M(1, 3)$. Вектор перпендикуляра к $AB$: $(6, 2)$. Центр квадрата смещён на $\frac{AB}{\sqrt{2}}$ в направлении перпендикуляра: \[ O\left(1 + \frac{6}{\sqrt{2}}, 3 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = (1 + 3\sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \] Расстояние от $(0, 0)$ до $O$: \[ \sqrt{(1 + 3\sqrt{2})^2 + (3 + \sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 6\sqrt{2} + 18 + 9 + 6\sqrt{2} + 2} = \sqrt{30 + 12\sqrt{2}} \] Ответ: $\sqrt{30 + 12\sqrt{2}}$.

  9. Найдите $AB$, если окружности с радиусами 5 и 12 касаются в $C$, а $AC = BC$ и $\angle ACB = 90^\circ$.
    Решение: Центры окружностей $O_1(0, 0)$, $O_2(7, 0)$. Точка $C(2, 0)$. Точки $A$ и $B$ удовлетворяют: \[ AC = BC, \quad AC \perp BC \] Треугольник $ACB$ — прямоугольный равнобедренный $\Rightarrow AB = AC\sqrt{2}$. Координаты $A(12\cos\theta, 12\sin\theta)$, $B(2 - 12\sin\theta, 12\cos\theta)$. Подставляем в уравнение окружности для $B$: \[ (2 - 12\sin\theta - 7)^2 + (12\cos\theta)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad (-5 - 12\sin\theta)^2 + 144\cos^2\theta = 25 \] Решая, получаем $\sin\theta = -\frac{12}{13}$. Тогда $AC = \sqrt{(12\cos\theta - 2)^2 + (12\sin\theta)^2} = 13$. Ответ: $AB = 13\sqrt{2}$.

  10. Найдите площадь трапеции с основаниями 7 и 3, диагоналями 6 и 8.
    Решение: Используем формулу: \[ S = \frac{d_1d_2}{2} \sin\theta \] Из уравнения для суммы квадратов диагоналей: \[ 6^2 + 8^2 = 7^2 + 3^2 + 4ab\cos\theta \quad \Rightarrow \quad 100 = 58 + 84\cos\theta \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = -\frac{4}{21} \] \[ \sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{21}\right)^2} = \frac{\sqrt{425}}{21} \] \[ S = \frac{6 \cdot 8}{2} \cdot \frac{\sqrt{425}}{21} = \frac{24\sqrt{425}}{21} = \frac{8\sqrt{425}}{7} \] Ответ: $\frac{8\sqrt{425}}{7}$.
Материалы школы Юайти