Лицей «Вторая школа» из 9 в 10 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2017 год

Примерный вариант

1. Упростить выражение: \[ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} - \frac{a - 4\sqrt{a} + 2}{3\sqrt{a} - a - 2}\right) \;\cdot\; \frac{1 - a}{2 - \sqrt{16a}}. \]
2. Решите неравенство: \[ (2 - x)\,(2x^2 - 7x + 24) \;>\; (2 - x)\,(x^2 + 4x - 6). \]
3. Решите уравнение: \[ \frac{3x^2 - \lvert 2x + 3\rvert + 2}{3\,\lvert x\rvert - 1} = 0. \]
4. Решите графически систему: \[ \begin{cases} xy = 4,\\ y^2 = x + 2. \end{cases} \]
5. Найдите \(\displaystyle\cos\Bigl(\tfrac\pi4 - 2\alpha\Bigr)\,\cos\Bigl(\tfrac{5\pi}{4} + 2\alpha\Bigr)\), если \(\cos2\alpha\;\sin\Bigl(\tfrac{3\pi}{2} - 2\alpha\Bigr) = a\).
6. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены равны соответственно первому, четвёртому и шестнадцатому членам некоторой арифметической прогрессии. Найдите пятый член этой арифметической прогрессии, если первый её член равен 5.
7. Из точки \(C\) окружности проведены две хорды \(CA\) и \(CB\) так, что \(\angle ACB = 105^\circ\), а дуга \(CB\), не содержащая точки \(A\), в четыре раза длиннее дуги \(AC\), не содержащей точки \(B\). Найдите площадь фигуры, ограниченной этими хордами и дугой \(AB\), не содержащей точки \(C\), если радиус круга равен \(R\).

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} - \frac{a - 4\sqrt{a} + 2}{3\sqrt{a} - a - 2}\right) \;\cdot\; \frac{1 - a}{2 - \sqrt{16a}}. \]
   Решение:
   1. Работаем с первой скобкой: 1.1. Преобразуем знаменатель второй дроби: $3\sqrt{a} -a -2 = -(\sqrt{a} -1)(\sqrt{a} -2)$
   1.2. Приводим к общему знаменателю $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)$: \[ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1) - (a -4\sqrt{a} +2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)} = \frac{a - \sqrt{a} -a +4\sqrt{a} -2}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)} = \frac{3\sqrt{a}-2}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)} \] 2. Вторая часть выражения: $\frac{1 -a}{2 -4\sqrt{a}} = \frac{-(a-1)}{2(1 -2\sqrt{a})}$ 3. Общий множитель: $(1 -a)$ сокращается с знаменателем второго выражения. Итог: \[ \frac{3\sqrt{a} -2}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)} \cdot \frac{-1}{2} = \frac{2 -3\sqrt{a}}{2(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}-2)} \] Ответ: $\dfrac{3\sqrt{a} -2}{2(a -3\sqrt{a} +2)}$.
   
   
2. Решите неравенство: \[ (2 - x)\,(2x^2 - 7x + 24) \;>\; (2 - x)\,(x^2 + 4x - 6). \]
   Решение: Перенесем всё влево: \[ (2-x)\left[(2x^2 -7x +24) - (x^2 +4x -6)\right] > 0 \] Упрощаем выражение в скобках: \[ x^2 -11x +30 = (x-5)(x-6) \] Неравенство принимает вид: \[ (2-x)(x-5)(x-6) > 0 \] Метод интервалов:
   Критические точки: x = 2,5,6. Знаки интервалов: (-∞;2) — "+", (2;5) — "−", (5;6) — "+", (6;+∞) — "−". Решение: x ∈ (2;5) ∪ (6;+∞). Ответ: $x \in (2;5) \cup (6;+\infty)$.
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{3x^2 - \lvert 2x + 3\rvert + 2}{3\,\lvert x\rvert - 1} = 0. \]
   Решение: 1. Числитель равен нулю: $3x^2 - |2x+3| +2 =0$ 2. Знаменатель не равен нулю: $3|x| -1 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{3}$
   Рассмотрим два случая: Случай 1: $2x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1.5$ \[ 3x^2 - (2x+3) +2 =0 \Rightarrow 3x^2 -2x -1 =0 \] Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{3}$. Проверяем условия:
   x = 1: подходит.
   x = -$\frac{1}{3}$: не подходит по области в случае 1.
   
   Случай 2: $2x+3 <0 \Rightarrow x < -1.5$ \[ 3x^2 + (2x+3) +2 =0 \Rightarrow 3x^2 +2x +5=0 \] Дискриминант D = 4 -60 = -56 <0 ⇒ нет решений.
   
   Ответ: $x=1$.
   
   
4. Решите графически систему: \[ \begin{cases} xy = 4,\\ y^2 = x + 2. \end{cases} \]
   Решение: Из первого уравнения: $x = \frac{4}{y}$. Подставляем во второе: \[ y^2 = \frac{4}{y} +2 \Rightarrow y^3 -2y -4=0 \] Корни: y=2 (подстановкой). Разложим на множители: \[ (y-2)(y^2 +2y +2)=0 \Rightarrow y=2. \] Тогда x=2 (из первого уравнения). Других вещественных корней нет. Ответ: (2;2).
   
   
5. Найдите \(\displaystyle\cos\Bigl(\tfrac\pi4 - 2\alpha\Bigr)\,\cos\Bigl(\tfrac{5\pi}{4} + 2\alpha\Bigr)\), если \(\cos2\alpha\;\sin\Bigl(\tfrac{3\pi}{2} - 2\alpha\Bigr) = a\).
   Решение: 1. Преобразуем второе выражение: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} -2\alpha\right) = -\cos2\alpha \] Тогда уравнение: \[ \cos2\alpha \cdot (-\cos2\alpha) = -a \Rightarrow \cos^2 2\alpha = a \] 2. Искомое произведение: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4}-2α\right) \cos\left(\frac{5π}{4} +2α\right) = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{3π}{2}\right) + \cos\left(4α - \frac{π}{2}\right)\right] = -\frac{1}{2}\cos\left(4α - \frac{π}{2}\right) \] Исходя из $\cos^2 2α = a$, получаем $\cos4α = 2a -1$. Подставляем: \[ -\frac{1}{2}\sin4α = -\frac{1}{2}\sqrt{1 - (2a -1)^2} = -\sqrt{a -a^2} \] Ответ: $- \sqrt{a(1 -a)}$.
   
   
6. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены равны соответственно первому, четвёртому и шестнадцатому членам некоторой арифметической прогрессии. Найдите пятый член этой арифметической прогрессии, если первый её член равен 5.
   Решение: Пусть арифметическая прогрессия: $a_n =5 + (n-1)d$. Геометрическая прогрессия: $b, bq, bq^2, ...$. Условия: \[ \begin{cases} b =5\\ bq^2 =5 +3d\\ bq^4 =5 +15d \end{cases} \] Решаем систему: \[ q^2 = \frac{5+3d}{5}, \quad q^4 = \frac{5+15d}{5} \Rightarrow \left(\frac{5+3d}{5}\right)^2 = \frac{5+15d}{5} \] Упрощая: \[ (5+3d)^2 =25 +75d ⇒ 25 +30d +9d² =25 +75d ⇒9d² -45d=0⇒ d=5. \] Пятый член арифметической прогрессии: $5 +4\cdot5=25$. Ответ: 25.
   
   
7. Из точки \(C\) окружности проведены две хорды \(CA\) и \(CB\) так, что \(\angle ACB = 105^\circ\), а дуга \(CB\), не содержащая точки \(A\), в четыре раза длиннее дуги \(AC\), не содержащей точки \(B\). Найдите площадь фигуры, ограниченной этими хордами и дугой \(AB\), не содержащей точки \(C\), если радиус круга равен \(R\).
   Решение: 1. Пусть дуга AC (без B) равна x ⇒ дуга CB (без A) равна 4x. Вся окружность: $x +4x + \gamma =2πR$ (где γ — дуга AB). Угол ACB=105°, он вписанный и опирается на дугу AB ⇒ γ=2⋅105°=210°⇒ γ=$\frac{7π}{6}$ рад. Решая: $5x + \frac{7π}{6} =2π ⇒ x= \frac{5π}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{π}{6}$. 2. Площадь сегмента AB: $S =\frac{1}{2}R^2(\gamma - \sinγ) = \frac{1}{2}R^2\left(\frac{7π}{6} - \sin210°\right) = \frac{R^2}{2}\left(\frac{7π}{6} +\frac{1}{2}\right)$. Ответ: $\dfrac{R^2}{2}\left(\dfrac{7π}{6} + \dfrac{1}{2}\right)$.