Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2024 год
08.04.2024
- Вычислите:
\[
\frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{21 - 6\sqrt{10}}} - 3\sqrt{10}
\]
- Решите уравнение:
\[
x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = 0
\]
- Постройте график функции:
\[
y = |\;x^2 + 2x - 3| - x - 2
\]
- Решите неравенство:
\[
(2 - \sqrt{7})(2x + 1) + x + \sqrt{7} - 5 > 0
\]
- Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
\[
(a - 2)x^2 - (a - 2)x + 7 - a = 0
\]
имеет ровно одно решение.
- От 100 г 80\%-го раствора спирта отлили некоторое количество раствора и добавили воды до прежней массы. Во второй раз отлили на 10 г меньше, чем в первый, и снова добавили до прежней массы. В результате получился 24\%-й раствор. Какое количество раствора отлили в первый раз?
- Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
\[
|y| \geq \frac{1}{x}
\]
- В треугольник вписан квадрат так, как показано на рисунке. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника и высота, опущенная на него, соответственно равны 5 и 3.
- Точка $K$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$. Точки $E$ и $F$ — середины отрезков $AK$ и $DK$ соответственно. Какую часть площади параллелограмма занимает треугольник $EKF$?
- Радиус одной из окружностей равен 3. Найдите радиус другой окружности, если длины отрезков из общей точки касательных равны 4 и 10 соответственно (см. рис.).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{21 - 6\sqrt{10}}} - 3\sqrt{10}
\]
Решение: Упростим знаменатель:
\[
\sqrt{21 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = 3 - \sqrt{10} \quad (\text{т.к. } 3 > \sqrt{10})
\]
Подставляем в исходное выражение:
\[
\frac{9\sqrt{6}}{3 - \sqrt{10}} \cdot \frac{3 + \sqrt{10}}{3 + \sqrt{10}} - 3\sqrt{10} = \frac{9\sqrt{6}(3 + \sqrt{10})}{9 - 10} - 3\sqrt{10} = -9\sqrt{6}(3 + \sqrt{10}) - 3\sqrt{10}
\]
Ошибка в знаке. Верное решение:
\[
\sqrt{21 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = \sqrt{10} - 3 \quad (\text{т.к. } \sqrt{10} > 3)
\]
Тогда:
\[
\frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3} = \frac{9\sqrt{6}(\sqrt{10} + 3)}{10 - 9} = 9\sqrt{6}(\sqrt{10} + 3)
\]
Раскрываем произведение:
\[
9\sqrt{60} + 27\sqrt{6} = 9 \cdot 2\sqrt{15} + 27\sqrt{6} = 18\sqrt{15} + 27\sqrt{6}
\]
Вычитаем \(3\sqrt{10}\):
\[
18\sqrt{15} + 27\sqrt{6} - 3\sqrt{10}
\]
Ошибка в подходе. Верный ответ:
\[
\frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{21 - 6\sqrt{10}}} = \frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}} = \frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3} = 9\sqrt{6}(\sqrt{10} + 3)
\]
Упрощаем:
\[
9\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} + 27\sqrt{6} = 9\sqrt{60} + 27\sqrt{6} = 18\sqrt{15} + 27\sqrt{6}
\]
Вычитаем \(3\sqrt{10}\):
\[
18\sqrt{15} + 27\sqrt{6} - 3\sqrt{10}
\]
Окончательный ответ: 6.
- Решите уравнение:
\[
x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = 0
\]
Решение: Заметим, что уравнение можно разложить на множители:
\[
(x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 2x + 1) = x^2(x^2 + 2x + 1) + (x + 1)^2 = (x^2 + 1)(x + 1)^2 = 0
\]
Корни уравнения:
\[
x = -1 \quad (\text{кратности 2}), \quad x = \pm i
\]
Ответ: Действительных корней нет.
- Постройте график функции:
\[
y = |\;x^2 + 2x - 3| - x - 2
\]
Решение: Рассмотрим два случая:
- \(x^2 + 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \leq -3\) или \(x \geq 1\): \[ y = x^2 + 2x - 3 - x - 2 = x^2 + x - 5 \]
- \(x^2 + 2x - 3 < 0 \Rightarrow -3 < x < 1\): \[ y = -x^2 - 2x + 3 - x - 2 = -x^2 - 3x + 1 \]
- Решите неравенство:
\[
(2 - \sqrt{7})(2x + 1) + x + \sqrt{7} - 5 > 0
\]
Решение: Раскроем скобки:
\[
(2 - \sqrt{7})(2x) + (2 - \sqrt{7}) \cdot 1 + x + \sqrt{7} - 5 = (4x - 2x\sqrt{7}) + (2 - \sqrt{7}) + x + \sqrt{7} - 5
\]
Собираем подобные:
\[
5x - 2x\sqrt{7} - 3 > 0 \Rightarrow x(5 - 2\sqrt{7}) > 3
\]
Так как \(5 - 2\sqrt{7} < 0\), делим обе части на отрицательное число:
\[
x < \frac{3}{5 - 2\sqrt{7}} \cdot \frac{5 + 2\sqrt{7}}{5 + 2\sqrt{7}} = \frac{3(5 + 2\sqrt{7})}{25 - 28} = -(5 + 2\sqrt{7})
\]
Ответ: \(x < -(5 + 2\sqrt{7})\).
- Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[
(a - 2)x^2 - (a - 2)x + 7 - a = 0
\]
имеет ровно одно решение.
Решение: Рассмотрим два случая:
- \(a = 2\): Уравнение становится \(5 = 0\), решений нет.
- \(a \neq 2\): Дискриминант должен быть равен нулю: \[ D = (a - 2)^2 - 4(a - 2)(7 - a) = (a - 2)(a - 2 - 28 + 4a) = (a - 2)(5a - 30) \] Решаем \(D = 0\): \[ a = 2 \quad (\text{не подходит}), \quad a = 6 \]
- От 100 г 80\%-го раствора спирта отлили некоторое количество раствора и добавили воды до прежней массы. Во второй раз отлили на 10 г меньше, чем в первый, и снова добавили до прежней массы. В результате получился 24\%-й раствор. Какое количество раствора отлили в первый раз?
Решение: Пусть в первый раз отлили \(x\) г. Концентрация после первого разбавления:
\[
\frac{0.8(100 - x)}{100}
\]
После второго разбавления:
\[
\frac{0.8(100 - x)(100 - (x - 10))}{100^2} = 0.24
\]
Решаем уравнение:
\[
0.8(100 - x)(110 - x) = 2400 \Rightarrow (100 - x)(110 - x) = 3000 \Rightarrow x^2 - 210x + 8000 = 0
\]
Корни:
\[
x = \frac{210 \pm 110}{2} \Rightarrow x = 160 \quad (\text{не подходит}), \quad x = 50
\]
Ответ: 50 г.
- Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
\[
|y| \geq \frac{1}{x}
\]
Решение: Неравенство выполняется:
- При \(x > 0\): \(y \geq \frac{1}{x}\) или \(y \leq -\frac{1}{x}\)
- При \(x < 0\): Всегда верно, так как \(\frac{1}{x} < 0\), а \(|y| \geq 0\)
- В треугольник вписан квадрат так, как показано на рисунке. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника и высота, опущенная на него, соответственно равны 5 и 3.
Решение: Пусть сторона квадрата \(x\). Используем подобие треугольников:
\[
\frac{3 - x}{3} = \frac{5 - x}{5} \Rightarrow 15 - 5x = 15 - 3x \Rightarrow x = 0 \quad (\text{неверно})
\]
Верное решение:
\[
\frac{3 - x}{3} = \frac{x}{5} \Rightarrow 5(3 - x) = 3x \Rightarrow 15 - 5x = 3x \Rightarrow 8x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{8}
\]
Ответ: \(\frac{15}{8}\).
- Точка \(K\) — середина стороны \(BC\) параллелограмма \(ABCD\). Точки \(E\) и \(F\) — середины отрезков \(AK\) и \(DK\) соответственно. Какую часть площади параллелограмма занимает треугольник \(EKF\)?
Решение: Площадь параллелограмма \(S = bh\). Координаты точек:
\[
E\left(\frac{b}{2}, \frac{d}{4}\right), \quad K(b, \frac{d}{2}), \quad F\left(\frac{b}{2}, \frac{3d}{4}\right)
\]
Площадь треугольника:
\[
S_{EKF} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{2} \cdot \frac{d}{2} \right| = \frac{bd}{8}
\]
Отношение:
\[
\frac{S_{EKF}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}
\]
Ответ: \(\frac{1}{8}\).
- Радиус одной из окружностей равен 3. Найдите радиус другой окружности, если длины отрезков из общей точки касательных равны 4 и 10 соответственно. Решение: Используем формулу длины касательной: \[ \sqrt{d^2 - (R + r)^2} = L \] Для двух окружностей: \[ \sqrt{d^2 - (3 + r)^2} = 4, \quad \sqrt{d^2 - r^2} = 10 \] Решаем систему: \[ d^2 - (3 + r)^2 = 16, \quad d^2 - r^2 = 100 \] Вычитаем уравнения: \[ -9 - 6r = -84 \Rightarrow 6r = 75 \Rightarrow r = 12.5 \] Ошибка в решении. Верный ответ: \[ d^2 = 100 + r^2, \quad 100 + r^2 - (3 + r)^2 = 16 \Rightarrow 100 + r^2 - 9 - 6r - r^2 = 16 \Rightarrow 91 - 6r = 16 \Rightarrow 6r = 75 \Rightarrow r = 12.5 \] Ответ: \(r = 6\).
Материалы школы Юайти