Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
17.05.2019
Вариант 1
- Решите уравнение \[ (x + 1)(2x^2 - 5x + 2) = (x - 2)(3x^2 + 4x + 1). \]
- Решите неравенство \[ \frac{x}{x+1} + \frac{9}{x-1} \ge -7. \]
- Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли с постоянными скоростями два пешехода. Через некоторое время они встретились и продолжили идти каждый в своём направлении. Первый дошёл до пункта $B$ через 9 минут после встречи, а второй дошёл до пункта $A$ через 4 минуты после встречи. Сколько времени затратил каждый из них на путь от $A$ до $B$?
- График квадратного трёхчлена $y = x^2 + px + q$ пересекает ось $Ox$ в двух точках, расстояние между которыми равно $a$. Зная только величину $a$, найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена.
- Сократите дробь \[ \frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1}{x^4 - 4x^2 + 4x - 1}. \]
- Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ |y - 2x| + |x + 2y| \le 5. \]
- Вычислите \[ \sqrt{\tfrac12\,(7 - 3\sqrt5)} + \sqrt{\tfrac12\,(7 + 3\sqrt5)}. \]
- Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ x^2 + (a + 4)x + a + 7 = 0 \] имеет два различных положительных корня.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение
\[
(x + 1)(2x^2 - 5x + 2) = (x - 2)(3x^2 + 4x + 1)
\]
Решение:
Раскроем скобки:
\[
2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 3x^3 - 2x^2 - 7x - 2
\]
Перенесём все члены в левую часть:
\[
-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0
\]
Подбором находим корень \( x = 2 \). Разложим многочлен:
\[
(x - 2)(x^2 + 3x + 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad x = -1, \quad x = -2
\]
Ответ: \( -2; -1; 2 \).
- Решите неравенство
\[
\frac{x}{x+1} + \frac{9}{x-1} \ge -7
\]
Решение:
Приведём к общему знаменателю:
\[
\frac{8x^2 + 8x + 2}{(x+1)(x-1)} \ge 0
\]
Числитель \( 8x^2 + 8x + 2 = 8\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0 \). Знаменатель меняет знак в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Метод интервалов:
\[
x \in (-\infty, -1) \cup \left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cup (1, \infty)
\]
Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup \left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cup (1, \infty) \).
- Из пунктов \( A \) и \( B \) одновременно вышли два пешехода. Первый дошёл до \( B \) через 9 минут после встречи, второй — через 4 минуты. Найдите время каждого.
Решение:
Пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости пешеходов, \( t \) — время до встречи. Тогда:
\[
\frac{v_2 t}{v_1} = 9, \quad \frac{v_1 t}{v_2} = 4 \quad \Rightarrow \quad t = 6 \text{ мин}
\]
Полное время первого: \( 6 + 9 = 15 \) мин, второго: \( 6 + 4 = 10 \) мин.
Ответ: 15 мин и 10 мин.
- График \( y = x^2 + px + q \) пересекает \( Ox \) на расстоянии \( a \). Найдите наименьшее значение.
Решение:
Корни \( x_1 \) и \( x_2 \), расстояние \( |x_1 - x_2| = a \). Дискриминант \( D = a^2 \). Наименьшее значение трёхчлена:
\[
y_{\text{min}} = -\frac{a^2}{4}
\]
Ответ: \( -\frac{a^2}{4} \).
- Сократите дробь
\[
\frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1}{x^4 - 4x^2 + 4x - 1}
\]
Решение:
Разложим числитель и знаменатель:
\[
\frac{(x^2 - 2x - 1)(x - 1)^2}{(x^2 + 2x - 1)(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}
\]
Ответ: \( \frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1} \).
- Найдите площадь фигуры \( |y - 2x| + |x + 2y| \le 5 \).
Решение:
Замена \( u = y - 2x \), \( v = x + 2y \). Область \( |u| + |v| \le 5 \) — ромб с площадью 50. Якобиан преобразования \( \frac{1}{5} \), площадь исходной фигуры:
\[
\frac{50}{5} = 10
\]
Ответ: 10.
- Вычислите
\[
\sqrt{\tfrac12\,(7 - 3\sqrt5)} + \sqrt{\tfrac12\,(7 + 3\sqrt5)}
\]
Решение:
Обозначим \( A = \sqrt{\frac{7 - 3\sqrt5}{2}} \), \( B = \sqrt{\frac{7 + 3\sqrt5}{2}} \). Тогда:
\[
(A + B)^2 = 7 + 2\sqrt{1} = 9 \quad \Rightarrow \quad A + B = 3
\]
Ответ: 3.
- Найдите все \( a \), при которых уравнение \( x^2 + (a + 4)x + a + 7 = 0 \) имеет два различных положительных корня. Решение: Условия: \[ \begin{cases} D = a^2 + 4a - 12 > 0 \\ -(a + 4) > 0 \\ a + 7 > 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad a \in (-7, -6) \] Ответ: \( a \in (-7, -6) \).
Материалы школы Юайти