8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2019
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


04.06.2019


Вариант 1



  1. Разложите число \[ 7^{60} - 4^{30} \] на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
  2. Сколько квадратных плиток со стороной 10~см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60~м? (Плитки укладывают вплотную.)
  3. Кот и Лиса играли на золотые монеты. Сначала Кот отдал половину своих монет Лисе, потом Лиса отдала Коту половину того, что у неё стало. В итоге у Кота оказалось 21 монета, а у Лисы — 12. Сколько монет было у Кота и у Лисы до игры (у каждого)?
  4. Два робота за 3~дня собирают 4 компьютера. Сколько компьютеров соберут 8 роботов за 9~дней?
  5. Чебурашка бежит с скоростью $\tfrac{1}{3}$~км/мин, а Гена — $\tfrac{1}{2}$~км/мин. Они выбежали одновременно. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
  6. Дано \[ \frac{a}{b} = \frac{5}{6}, \quad \frac{b}{c} = \frac{4}{7}. \] Найдите \[ \frac{c + b}{b + a}. \]
  7. Контрольную работу назовём \emph{сложной}, если хотя бы одну задачу никто не решил. Продолжите определение (в общем виде):
    Контрольная называется \emph{несложной}, если \dots
  8. Разложите на три множителя: \[ x^3 - ax^2 - a^2x + a^3. \]

  9. Сократите дробь: \[ \frac{(2x^3)^5\,(16x^3)^3}{(8x^5)^5}. \]

  10. Мама и сын идут в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 5 шагов. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?

  11. Запишите уравнение прямой, график которой параллелен прямой $y = 10 - 0{,}1x$ и проходит через точку $A(20;35)$.

  12. Решите уравнение: \[ (x - 2)(x - 3)^2 = (2 - x)(x^2 - 2x - 3). \]

  13. При каком значении $x$ значение выражения \[ y = (x - 5{,}1)(x - 3{,}3) \] будет наименьшим?

  14. Длина окружности одного колеса 28~см, а другого 52~см. Найдите наименьшее расстояние (в см), на котором оба колеса сделают целое число оборотов.
  15. Какие значения не может принимать $y$, заданный выражением: \[ y = \frac{7 - 8x}{2x - 5}. \]
  16. В треугольнике $ABC$ угол $A=30^\circ$, угол $B=90^\circ$, точка $D$ лежит на $AB$ и $AD=2\,DB$. Найдите угол $BCD$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разложите число $7^{60} - 4^{30}$ на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
    Решение: Представим выражение как разность квадратов:
    $7^{60} - 4^{30} = (7^{30})^2 - (2^{30})^2 = (7^{30} - 2^{30})(7^{30} + 2^{30})$
    Ответ: $(7^{30} - 2^{30})(7^{30} + 2^{30})$.

  2. Сколько квадратных плиток со стороной 10~см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60~м?
    Решение: Площадь квадрата: $60 \text{ м} \times 60 \text{ м} = 3600 \text{ м}^2 = 36000000 \text{ см}^2$. Площадь плитки: $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$. Количество плиток: $\frac{36000000}{100} = 360000$.
    Ответ: 360000.

  3. Кот и Лиса играли на золотые монеты. Сначала Кот отдал половину своих монет Лисе, потом Лиса отдала Коту половину того, что у неё стало. В итоге у Кота оказалось 21 монета, а у Лисы — 12. Сколько монет было у Кота и у Лисы до игры?
    Решение: Пусть у Кота было $x$ монет, у Лисы $y$. После первого обмена:
    Кот: $\frac{x}{2}$, Лиса: $y + \frac{x}{2}$.
    После второго обмена:
    Кот: $\frac{x}{2} + \frac{y + \frac{x}{2}}{2} = 21$,
    Лиса: $\frac{y + \frac{x}{2}}{2} = 12$.
    Решая систему, получаем $x = 24$, $y = 6$.
    Ответ: У Кота 24, у Лисы 6.

  4. Два робота за 3~дня собирают 4 компьютера. Сколько компьютеров соберут 8 роботов за 9~дней?
    Решение: Производительность: $\frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ компьютера/робот/день. Для 8 роботов за 9 дней: $8 \cdot 9 \cdot \frac{2}{3} = 48$.
    Ответ: 48.

  5. Чебурашка бежит с скоростью $\frac{1}{3}$~км/мин, а Гена — $\frac{1}{2}$~км/мин. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
    Решение: Время Гены: $t = \frac{S}{\frac{1}{2}} = 2S$ мин. За это время Чебурашка пробежит $\frac{1}{3} \cdot 2S = \frac{2}{3}S$. Останется: $S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S$.
    Ответ: $\frac{1}{3}$.

  6. Дано $\frac{a}{b} = \frac{5}{6}$, $\frac{b}{c} = \frac{4}{7}$. Найдите $\frac{c + b}{b + a}$.
    Решение: Выразим $a = \frac{5}{6}b$, $c = \frac{7}{4}b$. Подставим:
    $\frac{\frac{7}{4}b + b}{\frac{5}{6}b + b} = \frac{\frac{11}{4}b}{\frac{11}{6}b} = \frac{3}{2}$.
    Ответ: $1{,}5$.

  7. Контрольную работу назовём \emph{сложной}, если хотя бы одну задачу никто не решил. Продолжите определение:
    Ответ: Контрольная называется \emph{несложной}, если каждую задачу решил хотя бы один человек.

  8. Разложите на три множителя: $x^3 - ax^2 - a^2x + a^3$.
    Решение: Группируем:
    $(x^3 - ax^2) - (a^2x - a^3) = x^2(x - a) - a^2(x - a) = (x - a)(x^2 - a^2) = (x - a)^2(x + a)$.
    Ответ: $(x - a)^2(x + a)$.

  9. Сократите дробь: $\frac{(2x^3)^5\,(16x^3)^3}{(8x^5)^5}$.
    Решение: Упрощаем степени:
    $\frac{32x^{15} \cdot 4096x^9}{32768x^{25}} = \frac{131072x^{24}}{32768x^{25}} = \frac{4}{x}$.
    Ответ: $\frac{4}{x}$.

  10. Мама и сын идут в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 5 шагов. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?
    Решение: Пусть шаги мамы $3k$, сына $5k$. Разница: $5k - 3k = 300 \Rightarrow k = 150$. Сын: $5k = 750$.
    Ответ: 750.

  11. Запишите уравнение прямой, параллельной $y = 10 - 0{,}1x$ и проходящей через $A(20;35)$.
    Решение: Угловой коэффициент $k = -0{,}1$. Уравнение: $y = -0{,}1x + b$. Подставляем точку: $35 = -2 + b \Rightarrow b = 37$.
    Ответ: $y = -0{,}1x + 37$.

  12. Решите уравнение: $(x - 2)(x - 3)^2 = (2 - x)(x^2 - 2x - 3)$.
    Решение: Переносим все влево и выносим $(x - 2)$:
    $(x - 2)[(x - 3)^2 + (x^2 - 2x - 3)] = 0$.
    Решаем квадратное уравнение: $2x^2 - 8x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1$, $x = 3$.
    Ответ: $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$.

  13. При каком значении $x$ выражение $y = (x - 5{,}1)(x - 3{,}3)$ минимально?
    Решение: Вершина параболы: $x = \frac{5{,}1 + 3{,}3}{2} = 4{,}2$.
    Ответ: 4,2.

  14. Найдите наименьшее расстояние, на котором оба колеса сделают целое число оборотов.
    Решение: НОК длин окружностей: $\text{НОК}(28, 52) = 364$ см.
    Ответ: 364 см.

  15. Какие значения не может принимать $y = \frac{7 - 8x}{2x - 5}$?
    Решение: Выражаем $x$ через $y$: $x = \frac{5y + 7}{2y + 8}$. Знаменатель не должен быть нулём: $2y + 8 \neq 0 \Rightarrow y \neq -4$. Также проверяем: $y \neq 4$.
    Ответ: $y \neq 4$.

  16. В треугольнике $ABC$ угол $A=30^\circ$, $B=90^\circ$, $AD=2\,DB$. Найдите угол $BCD$.
    Решение: Пусть $AB = a\sqrt{3}$, $BC = a$. $DB = \frac{AB}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Тангенс угла $BCD$: $\frac{DB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \angle BCD = 30^\circ$.
    Ответ: $30^\circ$.
Материалы школы Юайти