Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2017 год вариант 2
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2017 год
Примерные задачи по математике для поступающих в 9 физ.-мат. класс
- Какое количество воды надо добавить к 100 г $70 \%$-ной уксусной эссенции, чтобы получить $5 \%$-ный раствор уксуса?
- Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений переменной $\mathrm{n}:\left(\frac{2}{2 m-n}+\frac{6 n}{n^{2}-4 m^{2}}-\frac{4}{2 m+n}\right):\left(1+\frac{4 m^{2}+n^{2}}{4 m^{2}-n^{2}}\right) .$
- Какое из чисел больше и почему: $\sqrt{101}+\sqrt{103}$ или $\sqrt{99}+\sqrt{105}$ (калькулятором пользоваться нельзя)?
- Пусть $\mathrm{x}_{1}$ и $\mathrm{x}_{2}-$ корни уравнения $2 \mathrm{x}^{2}-7 \mathrm{x}+1=0 .$ Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}}$
- Решите уравнение $(x-1)^{4}-x^{2}+2 x-73=0$.
- Верно ли, что если $a3$ ? Ответ обоснуйте.
- Решите неравенство $\frac{3+8 x}{2 x-5}>4$.
- Постройте графики функций: $a) y=4 x-x^{2} ;$ b) $y=4 \cdot|x|-x^{2} ; \quad$ c) $\quad y=\left|4 x-x^{2}\right|$.
- Две высоты ромба, проведенные из вершин его тупых углов, пересекаясь, делятся в отношении $1: 2 .$ Найдите углы ромба.
- Основания трапеции равны 6 см и 26 см, а боковые стороны - 12 см и 16 см. Найдите высоту трапеции.
- Упростите выражение: $\frac{a^{4}-3 a^{2}+1}{a^{3}-27}: \frac{a^{2}+a+1}{a^{2}+3 a+9} .$ Вычислите его значение при $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
- Вычислите: $\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}$.
- Найдите все корни уравнения $x^{2}+x+\sqrt{6}-6=0$, удовлетворяющие условию $x<\sqrt{2}$.
- Решите неравенство: $\sqrt{5-x} \cdot(x+3) \leq 0$.
- Известно, что $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ 2. Докажите, что $\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4} \geq 2$.
- Постройте график функции $y=x \cdot|x|-3 .$
- Расстояние от точки А, взятой внутри угла в $60^{\circ}$, до его сторон равны 2 см и 11 см. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.
- Постройте трапецию по боковым сторонам, основанию и разности углов при основании.
- За весну Обломов сбавил в весе $25 \%$, за лето прибавил $20 \%$, за осень похудел на $10 \%$, а за зиму прибавил $20 % .$ Похудел он или поправился за год?
- Дано число $a_{0}=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot . .100$. Пусть $\mathrm{a}_{1}-$ сумма его цифр, $\mathrm{a}_{2}-$ сумма цифр числа $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{3}-$ сумма цифр числа $\mathrm{a}_{2}$ и так далее. Найдите $a_{10} .$
- Пусть $a-\frac{1}{a}=\frac{2}{3}$. Найдите $a^{3}-\frac{1}{a^{3}}$.
- Упростите выражение: $(2-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{9+4 \sqrt{5}}$.
- Сравните числа $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$ и $\sqrt{10}$.
- Решите уравнение: $\left|x^{2}-x-8\right|=-x$.
- Не вычисляя корней квадратного уравнения $3 x^{2}+8 x-1=0$, найдите $\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}}$, где х $_{1}$ и х $_{2}-$ корни данного уравнония.
- С аэродрома одновременно вылетели два самолета: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолетов, если скорость одного составляла $75 \%$ скорости другого.
- Докажите неравенство: $|a-1|+|a-2| \geq 1$.
- Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству: $\frac{2 x^{2}-5 x+3}{6}-\frac{4-x}{12} \geq \frac{15+x^{2}}{3}-\frac{1-2 x}{9}$.
- Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}7<2 x+1<11 \\ \frac{x+2}{x-5}<\frac{x-6}{x-3}\end{array}\right.$.
- Упростите выражение $\frac{\frac{1}{2}-x^{-1}}{4-\left(\frac{1}{x}\right)^{-2}}:\left(\frac{(2+x)^{-1}}{2^{-2}}-2 x^{-1}-1\right)$ и найдите его значение при $x=-\frac{1}{2}$.
- Сумма боковых сторон $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равна $b$, а сумма ее оснований равна $a$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $T$. Найдите $M T$.
- Единичный квадрат повернули на $45^{\circ}$ вокруг его вершины. Найти площадь общей части двух получившихся квадратов.
- Внутри треугольника $A B C$ взяли треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ так, что его стороны соответственно параллельны сторонам данного треугольника. Докажите, что прямые $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ пересекаются в одной точке.
- Дано $n$ целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать одно или несколько чисел так, что их сумма разделится на $n$.
- Дежурный может охранять объект либо весь день, либо всю ночь, либо целые сутки. В первом случае ему предоставляется отдых не менее суток, во втором случае - не менее 1,5 суток, а в третьем - не менее 2,5 суток. Каким наименьшим количеством дежурных можно обойтись при этих условиях?
- Дано: $a>b>c$. Докажите: $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)>0$.
- За два года население городка увеличилось на 44 \%. На сколько процентов увеличивалось население ежегодно (предполагается, что каждый год процент прироста населения одинаков)?
- Построить графики функций: а) $y=-\frac{x+2}{x+3} ;$ б) $y=\left|\frac{x+2}{x+3}\right| ;$ в) $y=\frac{1}{|x|+3}-1$.
- Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения $x^{2}+x-3=0$.
- Докажите, что произведение 99 дробей $\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}$, где $\mathrm{k}=2 ; 3 ; \ldots 100$, больше $\frac{2}{3}$.
- Шахматная доска $(8 \times 8)$ выкрашена в белый цвет. За один шаг разрешается любой трехклеточный прямоугольник доски перекрасить, поменяв цвета клеток этого прямоугольника: белые - на черные, а черные - на белые. У дастся ли за несколько шагов перекрасить доску в черный цвет?
- Найдите десять различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.
- На окружности по порядку стоят девять точек: $A, B, C, D, E, F, G, H, I .$ Найдите сумму углов звездочки $A C E G I B D F H$.
- С помощью циркуля и линейки постройте общую касательную к двум данным окружностям.
- Докажите, что при всех натуральных $n$ число $(n+1)^{4}+4$ составное.
- Постройте график функции $y=|| x-1|-4|+2$.
- Упростите: $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}-1-\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
- Решите систему уравнений относительно $(x ; y):\left\{\begin{array}{c}(a+1) x-y=a+1 \\ x+(a-1) y=2\end{array}\right.$.
- Имеется 10 мешков с монетами. В девяти мешках монеты настоящие (по 10 г), а в одном мешке - фальшивые ( по 11 г). Одним взвешиванием определить, в каком мешке фальшивые монеты.
- 15 журналов лежат на столе, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать восемь из них так, что оставшиеся журналы будут покрывать не менее 7/15 площади стола.
- Вычислите $\left(\frac{a+3 b}{(a-b)^{2}}+\frac{a-3 b}{a^{2}-b^{2}}\right): \frac{a^{2}+3 b}{a^{3}-a^{2} b-a b^{2}+b^{3}}$ при $a=\sqrt{3}, b=1,7 .$
- Решите уравнение $4 x^{2}-2|2 x-1|=34+4 x$.
- Решите неравенство $(x+5)\left(3 x^{2}-3 x+1\right)>(x+5)\left(x^{2}+2 x-1\right)$.
- Решите систему неравенств $\left\{\begin{array}{l}|x-3| \leq 5-x \\ \frac{3 x-5}{x-1}<2\end{array}\right.$.
- Сравните числа $a=(\sqrt{6}+\sqrt{3}) \sqrt{12}-2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}$ и $b=\left[\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\right]^{-2} \cdot(1+\sqrt{3,5})^{2}$.
- При каком значении параметра $\mathrm{m}$ является наибольшей сумма квадратов корней уравнения $\mathrm{x}^{2}+(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+\mathrm{m}^{2}-1,5=0$ ?
- Два тракториста могут вспахать поле на 18ч быстрее, чем один первый тракторист, и на 32ч быстрее, чем один второй. За сколько часов может вспахать поле каждый тракторист, работая один?
- Решите уравнение $\frac{1}{x+2}-\frac{2 b-1}{x^{2}-2 x+4}=\frac{6-4 b}{x^{3}+8} \quad(b-$ параметр)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Какое количество воды надо добавить к 100 г $70 \%$-ной уксусной эссенции, чтобы получить $5 \%$-ный раствор уксуса?
Решение: В 100 г 70% раствора содержится $100 \cdot 0,7 = 70$ г кислоты. Пусть добавили $x$ г воды. Новый раствор имеет массу $100 + x$ г и концентрацию 5\%:
$\frac{70}{100 + x} = 0,05$
$70 = 5 + 0,05x$
$x = \frac{65}{0,05} = 1300$ г.
Ответ: 1300 г.
- Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений переменной $\mathrm{n}:\left(\frac{2}{2 m-n}+\frac{6 n}{n^{2}-4 m^{2}}-\frac{4}{2 m+n}\right):\left(1+\frac{4 m^{2}+n^{2}}{4 m^{2}-n^{2}}\right)$.
Решение: Упростим выражение:
Числитель: $\frac{2(2m+n) -6n -4(2m-n)}{(2m-n)(2m+n)} = \frac{-4m}{(4m^2 -n^2)}$
Знаменатель: $\frac{8m^2}{4m^2 -n^2}$
Результат деления: $\frac{-4m}{8m^2} = -\frac{1}{2m}$
Ответ: $-\frac{1}{2m}$ (не зависит от $n$).
- Какое из чисел больше и почему: $\sqrt{101}+\sqrt{103}$ или $\sqrt{99}+\sqrt{105}$?
Решение: Возведем обе суммы в квадрат:
$(\sqrt{101}+\sqrt{103})^2 = 204 + 2\sqrt{10403}$
$(\sqrt{99}+\sqrt{105})^2 = 204 + 2\sqrt{10395}$
Так как $10403 > 10395$, то $\sqrt{101}+\sqrt{103} > \sqrt{99}+\sqrt{105}$.
Ответ: $\sqrt{101}+\sqrt{103}$ больше.
- Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}}$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$.
Решение: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = \frac{7}{2}$, $x_1x_2 = \frac{1}{2}$.
Найдем сумму корней нового уравнения:
$S = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1+x_2)^3 -3x_1x_2(x_1+x_2)}{(x_1x_2)^2} = \frac{301}{2}$
Произведение корней: $P = \frac{1}{(x_1x_2)} = 2$
Уравнение: $2t^2 -301t +4 = 0$
Ответ: $2x^2 -301x +4 = 0$.
- Решите уравнение $(x-1)^{4}-x^{2}+2x-73=0$.
Решение: Преобразуем уравнение:
$(x-1)^4 - (x-1)^2 -72 = 0$
Замена $y = (x-1)^2$:
$y^2 - y -72 = 0 \Rightarrow y = 9$ (так как $y \geq 0$)
$(x-1)^2 = 9 \Rightarrow x = 4$ или $x = -2$
Ответ: $x = 4$, $x = -2$.
- Верно ли, что если $a3$?
Решение: Рассмотрим два случая:
1) $a > 0$: $\frac{6}{a} > 3 \Rightarrow a < 2$ — верно
2) $a < 0$: $\frac{6}{a} < 0$ — неверно
Ответ: Неверно при $a \leq 0$.
- Решите неравенство $\frac{3+8x}{2x-5} >4$.
Решение: Преобразуем неравенство:
$\frac{23}{2x-5} >0 \Rightarrow 2x-5 >0 \Rightarrow x >2.5$
Ответ: $x \in (2.5; +\infty)$.
- Постройте графики функций:
а) $y=4x-x^2$ — парабола с вершиной в (2,4)
б) $y=4|x|-x^2$ — "чайка" с ветвями вверх при $x \geq 0$ и $x <0$
в) $y=|4x-x^2|$ — отражение параболы выше оси OX
- Две высоты ромба, проведенные из вершин его тупых углов, пересекаясь, делятся в отношении $1:2$. Найдите углы ромба.
Решение: Пусть высоты $h_1$ и $h_2$. Из подобия треугольников:
$\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{2} = \sin\alpha$, где $\alpha$ — острый угол
$\alpha = 30^\circ$, тупой угол $150^\circ$
Ответ: $30^\circ$ и $150^\circ$.
- Основания трапеции равны 6 см и 26 см, а боковые стороны — 12 см и 16 см. Найдите высоту трапеции.
Решение: Разность оснований 20 см. Решаем систему:
$\begin{cases} h^2 + x^2 = 12^2 \\ h^2 + (20-x)^2 = 16^2 \end{cases}$
Решение: $x=7.2$ см, $h=9.6$ см
Ответ: 9.6 см.
- Упростите выражение: $\frac{a^{4}-3a^{2}+1}{a^{3}-27} : \frac{a^{2}+a+1}{a^{2}+3a+9}$.
Решение: Разложим знаменатели:
$\frac{(a^4-3a^2+1)(a^2+3a+9)}{(a-3)(a^2+3a+9)(a^2+a+1)} = \frac{a^4-3a^2+1}{(a-3)(a^2+a+1)}$
При $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ подстановка дает 1.
Ответ: 1.
- Вычислите: $\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}$.
Решение: Раскрываем модули:
$|\sqrt{3}-1| + |2-\sqrt{3}| = (\sqrt{3}-1)+(2-\sqrt{3}) =1$
Ответ: 1.
- Найдите все корни уравнения $x^{2}+x+\sqrt{6}-6=0$, удовлетворяющие условию $x<\sqrt{2}$.
Решение: Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{25-4\sqrt{6}}}{2}$. Оценка $\sqrt{25-4\sqrt{6}} \approx 3.2$, меньший корень $x \approx -2.1 < \sqrt{2}$.
Ответ: $x = \frac{-1 - \sqrt{25-4\sqrt{6}}}{2}$.
- Решите неравенство: $\sqrt{5-x} \cdot(x+3) \leq0$.
Решение: ОДЗ: $x \leq5$. Решаем методом интервалов:
$x \in [-3;5]$, при $x \in [-3;5]$ выражение $\leq0$
Ответ: $x \in [-3;5]$.
- Докажите, что $\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4} \geq2$ при $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$.
Решение: Используем неравенство Коши:
$\frac{a^4 + b^4}{2} \geq \left(\frac{a^2 + b^2}{2}\right)^2 \geq \left(\frac{(a+b)^2}{2}\right)^2 = 8$
Ответ: $a^4 + b^4 \geq2$.
- Постройте график функции $y=x \cdot|x|-3$.
Решение: При $x \geq0$: $y=x^2-3$; при $x<0$: $y=-x^2-3$.
- Расстояние от точки А до вершины угла в $60^\circ$ равно $\sqrt{2^2 +11^2 -2 \cdot2 \cdot11 \cdot\cos60^\circ} = \sqrt{103}$ см.
Ответ: $\sqrt{103}$ см.
- За год Обломов изменил вес: $0.75 \cdot1.2 \cdot0.9 \cdot1.2 = 0.972$ — похудел на 2.8\%.
Ответ: Похудел.
- Найдите $a_{10}$ для числа $a_0=100!$.
Решение: Сумма цифр $100!$ делится на 9, поэтому $a_1$, $a_2$, ... будут кратны 9. Начиная с $a_3$ получаем 9.
Ответ: 9.
- Найдите $a^{3}-\frac{1}{a^{3}}$, если $a-\frac{1}{a}=\frac{2}{3}$.
Решение: $(a-\frac{1}{a})^3 = a^3 - \frac{1}{a^3} -3(a-\frac{1}{a})$
$\frac{8}{27} = x -3 \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{62}{27}$
Ответ: $\frac{62}{27}$.
- Упростите выражение: $(2-\sqrt{5}) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}}$.
Решение: $\sqrt{9+4\sqrt{5}} = 2+\sqrt{5}$
$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}) = -1$
Ответ: $-1$.
- Сравните числа: $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = 3$ и $\sqrt{10} \approx3.16$.
Ответ: $3 < \sqrt{10}$.
- Решите уравнение $\left|x^{2}-x-8\right|=-x$.
Решение: $-x \geq0 \Rightarrow x \leq0$
Решаем $x^2 -x -8 = -x$ и $x^2 -x -8 =x$
Ответ: $x=-2$.
- Найдите $\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}^{2}}$ для уравнения $3x^2+8x-1=0$.
Решение: Используя теорему Виета:
$S = -\frac{8}{3}$, $P = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-72\frac{8}{9}$.
- Скорости самолетов: $v$ и $0.75v$. Через 2 часа расстояние $2v \sqrt{1 +0.75^2} =2000$ км.
Решение: $v = 800$ км/ч, $0.75v =600$ км/ч.
Ответ: 800 км/ч и 600 км/ч.
- Докажите неравенство: $|a-1|+|a-2| \geq1$.
Решение: Минимум достигается при $a=1.5$: $0.5 +0.5=1$.
Ответ: Всегда верно.
- Найдите наибольшее целое $x$, удовлетворяющее неравенству:
$\frac{2x^2-5x+3}{6} -\frac{4-x}{12} \geq \frac{15+x^2}{3} -\frac{1-2x}{9}$
Решение: После упрощения: $x \leq3.5$
Ответ: 3.
- Решите систему неравенств:
$\begin{cases}7<2x+1<11 \\ \frac{x+2}{x-5} <\frac{x-6}{x-3}\end{cases}$
Решение: Первое неравенство: $3<x<5$
Второе неравенство: $x \in(-\infty;1) \cup(5;+\infty)$
Пересечение: $x \in(3;5)$
Ответ: $x \in(3;5)$.
- Упростите выражение и найдите значение при $x=-\frac{1}{2}$:
$\frac{\frac{1}{2}-x^{-1}}{4-\left(\frac{1}{x}\right)^{-2}} : \left(\frac{(2+x)^{-1}}{2^{-2}}-2x^{-1}-1\right)$
Решение: После упрощений при $x=-0.5$ получаем $-1$.
Ответ: $-1$.
- Найдите $MT$ в трапеции: $MT = \frac{a-b}{2}$.
Ответ: $\frac{a-b}{2}$.
- Площадь общей части квадратов: $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
- Докажите, что прямые пересекаются в одной точке, используя теорему Дезарга.
- Докажите существование подмножества с суммой кратной $n$ методом Дирихле.
- Минимальное число дежурных: 5.
- Докажите неравенство $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) >0$ при $a >b >c$.
Решение: Преобразуем в $(a-b)(b-c)(a-c) >0$.
- Ежегодный прирост населения: 20\%.
Решение: $(1+x)^2 =1.44 \Rightarrow x=0.2$.
- Графики функций:
а) Гипербола с асимптотами $x=-3$, $y=-1$
б) Модуль гиперболы
в) Симметричный график относительно оси OY
- Составьте квадратное уравнение: $x^2 -\frac{1}{9}x +1=0$.
- Докажите $\prod_{k=2}^{100} \frac{k^3-1}{k^3+1} >\frac{2}{3}$.
Решение: Телескопическое произведение: $\frac{2}{3} \cdot \frac{100}{101} >\frac{2}{3}$.
- Перекрасить доску невозможно (инвариант по четности).
- Пример чисел: 1,2,3,...,9,45 (сумма 135).
- Сумма углов звезды: $180^\circ$.
- Постройте касательную через гомотетию.
- Докажите $(n+1)^4 +4 = (n^2 +2n +5)(n^2 +2n -1)$.
- График функции $y=||x-1|-4|+2$ — "ступенчатый" график.
- Упростите выражение: $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}} -1 -\sqrt{3}+\sqrt{5} =0$.
- Решите систему уравнений: При $a \neq0$ решение $x=1$, $y=1$.
- Определите мешок с фальшивыми монетами, взвесив 1 монету из каждого мешка с номером $k$ в количестве $k$ штук.
- Докажите покрытие площади методом усреднения.
- Вычислите выражение при $a=\sqrt{3}$, $b=1.7$: Ответ 2.
- Решите уравнение $4x^2 -2|2x-1| =34 +4x$.
Ответ: $x=4$, $x=-3$.
- Решите неравенство $(x+5)(2x^2 -5x +2) >0$.
Ответ: $x \in(-5;0.5) \cup(2;+\infty)$.
- Решите систему неравенств:
$\begin{cases}|x-3| \leq5-x \\ \frac{3x-5}{x-1} <2\end{cases}$
Ответ: $x \in[-1;1) \cup(1;4]$.
- Сравните числа: $a=6$, $b=6$ → равны.
- Максимум суммы квадратов корней при $m=0.5$.
- Время работы трактористов: 24 и 48 часов.
- Решите уравнение $\frac{1}{x+2} -\frac{2b-1}{x^2-2x+4} =\frac{6-4b}{x^3+8}$.
Ответ: При $b \neq1.5$: $x=2$; при $b=1.5$: $x \in \mathbb{R} \setminus\{-2\}$.
Материалы школы Юайти