Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2017 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2017 год

Примерные задачи для устного зачета по математике для поступающих в 9 физ-мат класс

1. Сумма боковых сторон $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равна $b$, а сумма ее оснований равна $a .$ Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $T$. Найти MT.
2. Единичный квадрат повернули на $45^{\circ}$ вокруг его вершины. Найти площадь общей части двух получившихся квадратов.
3. Внутри треугольника $A B C$ взяли треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ так, что его стороны соответственно параллельны сторонам данного треугольника. доказать, что прямые $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ пересекаются в одной точке.
4. Дано $n$ целых чисел. доказать, что из них можно выбрать одно или несколько чисел так, что их сумма разделится на $n$.
5. Дежурный может охранять объект либо весь день, либо всю ночь, либо целые сУтки. В первом случае ему предоставляется отдых не менее суток, во втором случае - не менее 1,5 суток, а в третьем - не менее 2,5 суток. Каким наименьшим количеством дежурных можно обойтись при этих условиях?
6. дано: $a>b>c .$ доказать $: a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)>0 .$
7. За два года население городка увеличилось на $44 \%$ На сколько процентов увеличивалось население ежегодно (предполагается, что каждый год процент прироста населения одинаков)?
8. Построить графики функций: а) $y=-\frac{x+2}{x+3} ;$ б) $y=\left|\frac{x+2}{x+3}\right| ;$ в) $y=\frac{1}{|x|+3}-1$.
9. Составить квадратное уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения $x^{2}+x-3=0$.
10. Доказать, что произведение 99 дробей $\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}$, где $k=2 ; 3 ; \ldots 100$, больше $\frac{2}{3} .$

Решения задач

1. Сумма боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равна $b$, а сумма ее оснований равна $a$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $T$. Найти $MT$.
   Решение: Биссектрисы углов при боковых сторонах трапеции пересекаются на средней линии. Средняя линия трапеции равна $\frac{a}{2}$ и параллельна основаниям. Точки $M$ и $T$ лежат на средней линии, поэтому расстояние между ними равно длине средней линии.
   Ответ: $\frac{a}{2}$.
   
   
2. Единичный квадрат повернули на $45^{\circ}$ вокруг его вершины. Найти площадь общей части двух получившихся квадратов.
   Решение: При повороте вершина остается общей. Общая часть представляет собой восьмиугольник, площадь которого можно найти как площадь исходного квадрата минус площадь двух равных прямоугольных треугольников с катетами $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
   Площадь общего участка: $1 - 2 \cdot \frac{(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2} = 2\sqrt{2} - 2$.
   Ответ: $2\sqrt{2} - 2$.
   
   
3. Внутри треугольника $ABC$ взяли треугольник $A_1B_1C_1$ так, что его стороны соответственно параллельны сторонам данного треугольника. Доказать, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.
   Решение: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ гомотетичны. Прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через центр гомотетии. Следовательно, они пересекаются в одной точке.
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Дано $n$ целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать одно или несколько чисел так, что их сумма разделится на $n$.
   Решение: Рассмотрим префиксные суммы $S_k = a_1 + a_2 + ... + a_k \mod n$. Если какая-то $S_k = 0$, то подходит подмножество $[1,k]$. Иначе среди $n$ сумм найдутся две равные $S_i = S_j$, тогда сумма $a_{i+1} + ... + a_j \equiv 0 \mod n$.
   Ответ: Доказано.
   
   
5. Дежурный может охранять объект либо весь день, либо всю ночь, либо целые сутки. В первом случае ему предоставляется отдых не менее суток, во втором случае — не менее 1,5 суток, а в третьем — не менее 2,5 суток. Каким наименьшим количеством дежурных можно обойтись при этих условиях?
   Решение: Минимальный цикл для полного покрытия: 3 дня и 3 ночи. Используя 4 дежурных с графиком: день → отдых 1 сутки → ночь → отдых 1,5 суток → сутки → отдых 2,5 суток.
   Ответ: 4.
   
   
6. Дано: $a > b > c$. Доказать: $a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) > 0$.
   Решение: Преобразуем выражение: $a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = (a - b)(b - c)(a - c)$. При $a > b > c$ все множители положительны, значит произведение положительно.
   Ответ: Доказано.
   
   
7. За два года население городка увеличилось на $44\%$. На сколько процентов увеличивалось население ежегодно (предполагается, что каждый год процент прироста населения одинаков)?
   Решение: Пусть годовой прирост $x$. Тогда $(1 + x)^2 = 1,44 \Rightarrow x = 0,2$.
   Ответ: $20\%$.
   
   
8. Построить графики функций:
   1. [а)] $y = -\frac{x+2}{x+3}$ — гипербола с асимптотами $x = -3$, $y = -1$.
   2. [б)] $y = \left|\frac{x+2}{x+3}\right|$ — модуль гиперболы, отражающий отрицательные части выше оси OX.
   3. [в)] $y = \frac{1}{|x| + 3} - 1$ — симметричный график с минимумом в точке $(0, -\frac{2}{3})$.
   Ответ: Графики построены.
   
   
9. Составить квадратное уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения $x^2 + x - 3 = 0$.
   Решение: Пусть корни исходного уравнения $x_1$ и $x_2$. Новые корни: $\frac{1}{x_1^2}$ и $\frac{1}{x_2^2}$. Используя теорему Виета:
   Сумма: $\frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{9} = \frac{1 + 6}{9} = \frac{7}{9}$.
   Произведение: $\frac{1}{(x_1x_2)^2} = \frac{1}{9}$.
   Уравнение: $9t^2 - 7t + 1 = 0$.
   Ответ: $9t^2 - 7t + 1 = 0$.
   
   
10. Доказать, что произведение 99 дробей $\frac{k^3 - 1}{k^3 + 1}$, где $k = 2, 3, \ldots, 100$, больше $\frac{2}{3}$.
    Решение: Преобразуем дроби: $\frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \frac{(k - 1)(k^2 + k + 1)}{(k + 1)(k^2 - k + 1)}$. При перемножении множители телескопически сокращаются:
    $\prod_{k=2}^{100} \frac{(k - 1)(k^2 + k + 1)}{(k + 1)(k^2 - k + 1)} = \frac{2 \cdot 100}{3 \cdot 101} = \frac{200}{303} > \frac{2}{3}$.
    Ответ: Доказано.