Лицей «Вторая Школа» из 8 в 9 класс 2017 год

1. Соревновались 4 команды, каждая с каждой сыграла 1 раз. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 5, 3, 3, 2 очка. Сколько было ничьих?
2. Чётное натуральное число \(n\) имеет 7 делителей, включая 1 и \(n\). Сколько делителей имеет число \(2n\)?
3. Разрежьте равносторонний треугольник на 4 выпуклые фигуры: шестиугольник, пятиугольник, четырёхугольник и треугольник.
4. По кругу лицом в центр круга стоят мальчики и девочки, всего 20 детей (есть и те, и другие). У каждого мальчика справа стоит ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки слева стоит ребёнок в красной футболке. Сколько в круге мальчиков?
5. Разместите в квадрате со стороной 1 несколько непересекающихся квадратов, так, чтобы сумма их периметров была больше 2017. Квадраты могут иметь общую границу, но не могут иметь общих внутренних точек.
6. В вершинах квадрата расставили натуральные числа \(a,b,c,d\), а на сторонах написали произведения на концах. Сумма на рёбрах — 77. Найти сумму в вершинах.
7. Есть 5 разных станков. Обучение одного рабочего на одном станке стоит \(N\) рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них можно было использовать все 5 станков?
8. Разложите 56 конфет по 14 пакетам так, чтобы с помощью этих пакетов можно было разделить конфеты поровну как между 7-ю, так и между 8-ю детьми. Перекладывать конфеты нельзя. В разных пакетах может быть одинаковое число конфет.
9. Числа \(0 \lt x 1 \lt 1,\ 0 \lt x_2 \lt 1,\ldots,0 \lt x_n \lt 1\) удовлетворяют соотношению \[ x_1x_2x_3\ldots x_n=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\ldots(1-x_n). \] Найдите наибольшее возможное значение произведения \(x_1x_2\ldots x_n\).

Решения задач

1. Соревновались 4 команды, каждая с каждой сыграла 1 раз. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 5, 3, 3, 2 очка. Сколько было ничьих?
   Решение: Всего сыграно $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ матчей. Если все матчи завершились победами, общая сумма очков была бы $6 \cdot 3 = 18$. Каждая ничья уменьшает сумму на $2$ (вместо $3+0$ — $1+1$). Разница между ожидаемым и реальным суммами: $18 - (5 + 3 + 3 + 2) = 5$. Таким образом, количество ничьих равно $\frac{5}{2} = 2.5$ — невозможно. Рассмотрим систему уравнений:
   Пусть $P$ — количество побед, $N$ — ничьих. Тогда: \[ \begin{cases} 3P + 2N = 13 \\ P + N = 6 \end{cases} \] Решим: $P = 1$, $N = 5$. Проверим распределение очков для ничьих: каждая ничья дает $2$ очка, сумма $5 \cdot 2 = 10$, плюс $3$ очка за победу. Общая сумма $13$ сходится.
   Ответ: 5.
2. Чётное натуральное число \(n\) имеет 7 делителей, включая 1 и \(n\). Сколько делителей имеет число \(2n\)?
   Решение: Число делителей числа вида $p^k$ равно $k + 1$. Для $n$ с 7 делителями: $n = 2^6$ (единственный чётный вариант). Тогда $2n = 2^7$, количество делителей: $7 + 1 = 8$.
   Ответ: 8.
3. Разрежьте равносторонний треугольник на 4 выпуклые фигуры: шестиугольник, пятиугольник, четырёхугольник и треугольник.
   Решение: Проведите три линии от центра к вершинам, затем третью линию сместите так, чтобы получились фигуры с требуемым количеством сторон. Внутренний шестиугольник, внешний пятиугольник, четырёхугольник и треугольник по краям.
   Ответ: Графическое решение требует визуализации.
4. По кругу лицом в центр круга стоят мальчики и девочки, всего 20 детей (есть и те, и другие). У каждого мальчика справа стоит ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки слева стоит ребёнок в красной футболке. Сколько в круге мальчиков?
   Решение: Пусть мальчиков — $k$, тогда синих футболок — $k$, красных — $20 - k$. Для замкнутой цепочки количество синих и красных футболок должно совпадать с условиями расположения. Решение: $k = 5$.
   Ответ: 5.
5. Разместите в квадрате со стороной 1 несколько непересекающихся квадратов, так, чтобы сумма их периметров была больше 2017. Квадраты могут иметь общую границу, но не могут иметь общих внутренних точек.
   Решение: Разделите квадрат на множество малых квадратов. Например, квадраты со стороной $\frac{1}{2^k}$. Сумма периметров $\sum 4 \cdot \frac{1}{2^k}$ бесконечна при $k \to \infty$, поэтому достаточно выбрать достаточно большое $k$.
   Ответ: Тривиально возможно.
6. В вершинах квадрата расставили натуральные числа \(a,b,c,d\), а на сторонах написали произведения на концах. Сумма на рёбрах — 77. Найти сумму в вершинах.
   Решение: Сумма произведений: $ab + bc + cd + da = (a + c)(b + d) = 77 = 7 \cdot 11$. Тогда $a + c + b + d = 7 + 11 = 18$.
   Ответ: 18.
7. Есть 5 разных станков. Обучение одного рабочего на одном станке стоит \(N\) рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них можно было использовать все 5 станков?
   Решение: Каждый станок должен быть изучен минимум 4 рабочими. Общее количество обучений: $5 \cdot 4 = 20$. Затраты: $20N$.
   Ответ: $20N$.
8. Разложите 56 конфет по 14 пакетам так, чтобы с помощью этих пакетов можно было разделить конфеты поровну как между 7-ю, так и между 8-ю детьми. Перекладывать конфеты нельзя. В разных пакетах может быть одинаковое число конфет.
   Решение: Создайте 8 пакетов по 7 конфет и 6 пакетов по 0 конфет. Для 7 детей: дайте каждому по 1 пакету в 8 конфет. Для 8 детей: дайте по 7 пакетов в 8 конфет.
   Ответ: 8 пакетов по 7 конфет, 6 пакетов по 0.
9. Числа \(0 \lt x_1 \lt 1,\ 0 \lt x_2 \lt 1,\ldots,0 \lt x_n \lt 1\) удовлетворяют соотношению \[ x_1x_2x_3\ldots x_n=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\ldots(1-x_n). \] Найдите наибольшее возможное значение произведения \(x_1x_2\ldots x_n\).
   Решение: Максимум достигается при $n=1$: $x = \frac{1}{2}$, тогда $x = 1 - x \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Для больших $n$ произведение меньше.
   Ответ: $\frac{1}{2^n}$.