Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2000 год вариант 3

1. Значение. Найдите значение выражения: \[ \frac{x^2 + y^2 + xy}{x^2 + y^2 - xy}, \] если \[ \frac{4x + y}{4x - y} = 3. \]
2. Сокращение. Сократите дробь: \[ \frac{8xy^2 \,(10x^2y)^5}{(20xy)^2 \,(50x^4y^3)^2}. \]
3. Уравнение 1. Найдите все значения $x, y$, удовлетворяющие уравнению \[ x^2 - 8xy + 25y^2 - 6y + 1 = 0. \]
4. Уравнение 2. Решите уравнение: \[ (x^2 - 25)(x + 6) = 2(x^2 - 36)(x + 5). \]
5. Движение. Пешеход вышел из пункта $A$ в 12:30 и пришёл в пункт $B$ в 13:30. Велосипедист выехал из пункта $A$ в 12:40 и приехал в пункт $B$ в 13:15. В котором часу велосипедист обогнал пешехода?
6. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: \[ 16 - x^2 - 6x. \]
7. Частное. Число $99\ldots9$ (всего написано 800 девяток) поделили на число $33\ldots3$ (всего написано 100 троек). Сколько цифр получилось в частном?
8. Проценты. Из 10 кг молока, содержащего 4% жира, сделали 1 кг сливок, содержащих 22% жира. Сколько процентов жира содержит оставшееся молоко?
9. Отрицание. Контрольную работу назвали сложной, каждую задачу кто-нибудь не решил. Продолжите определение в общем виде: «Тогда контрольная работа будет называться несложной, если...»
10. Множители. Разложите число \[ 64^8 - 9^{11} \] на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
11. Область значений. Какие значения не может принимать «$y$», заданный выражением \[ y = \frac{4x+7}{2x-5}, \] где $x$ — любое действительное число, кроме $2{,}5$?
12. В треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 100^\circ$, серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ пересекают сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Найдите угол $\angle MAN$.

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{x^2 + y^2 + xy}{x^2 + y^2 - xy}, \] если \[ \frac{4x + y}{4x - y} = 3. \]
   Решение: Из условия имеем: \[ \frac{4x + y}{4x - y} = 3 \implies 4x + y = 12x - 3y \implies 4y = 8x \implies y = 4x. \] Подставим \( y = 4x \) в выражение: \[ \frac{x^2 + (4x)^2 + x \cdot 4x}{x^2 + (4x)^2 - x \cdot 4x} = \frac{21x^2}{13x^2} = \frac{21}{13}. \] Ответ: \(\frac{21}{13}\).
2. Сократите дробь: \[ \frac{8xy^2 \cdot (10x^2y)^5}{(20xy)^2 \cdot (50x^4y^3)^2}. \]
   Решение: Упростим числитель и знаменатель: \[ \text{Числитель: } 8xy^2 \cdot 10^5x^{10}y^5 = 8 \cdot 10^5x^{11}y^7 = 800000x^{11}y^7, \] \[ \text{Знаменатель: } (20^2x^2y^2) \cdot (50^2x^8y^6) = 400 \cdot 2500x^{10}y^8 = 1000000x^{10}y^8. \] Сократим дробь: \[ \frac{800000x^{11}y^7}{1000000x^{10}y^8} = \frac{4x}{5y}. \] Ответ: \(\frac{4x}{5y}\).
3. Найдите все значения \(x, y\), удовлетворяющие уравнению: \[ x^2 - 8xy + 25y^2 - 6y + 1 = 0. \]
   Решение: Преобразуем уравнение, выделяя полные квадраты: \[ (x - 4y)^2 + (3y - 1)^2 = 0. \] Сумма квадратов равна нулю только при: \[ \begin{cases} x - 4y = 0, \\ 3y - 1 = 0. \end{cases} \] Решая систему, находим: \[ y = \frac{1}{3}, \quad x = \frac{4}{3}. \] Ответ: \(x = \frac{4}{3}, y = \frac{1}{3}\).
4. Решите уравнение: \[ (x^2 - 25)(x + 6) = 2(x^2 - 36)(x + 5). \]
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ (x - 5)(x + 5)(x + 6) - 2(x - 6)(x + 6)(x + 5) = 0. \] Вынесем общий множитель \((x + 5)(x + 6)\): \[ (x + 5)(x + 6)(x - 5 - 2x + 12) = 0 \implies (x +5)(x +6)(7 -x) = 0. \] Корни: \(x = -5, x = -6, x = 7\). Все значения удовлетворяют уравнению. Ответ: \(-6, -5, 7\).
5. Пешеход вышел из \(A\) в 12:30 и пришёл в \(B\) в 13:30. Велосипедист выехал из \(A\) в 12:40 и приехал в \(B\) в 13:15. В котором часу велосипедист обогнал пешехода?
   Решение: Скорость пешехода \(v_p = S\), велосипедиста \(v_b = \frac{12S}{7}\). Пусть встреча произошла через \(t\) часов после 12:30. Тогда: \[ S \cdot t = \frac{12S}{7} \left(t - \frac{1}{6}\right). \] Сокращая \(S\) и решая уравнение: \[ 7t = 12t - 2 \implies t = \frac{2}{5} \text{ ч} = 24 \text{ мин}. \] Время обгона: 12:30 + 24 мин = 12:54. Ответ: В 12:54.
6. Найдите наибольшее значение выражения: \[ 16 - x^2 - 6x. \]
   Решение: Преобразуем выражение: \[ 16 - (x^2 + 6x) = 25 - (x + 3)^2. \] Наибольшее значение достигается при \(x = -3\) и равно 25. Ответ: 25.
7. Число \(99\ldots9\) (800 девяток) поделили на число \(33\ldots3\) (100 троек). Сколько цифр в частном?
   Решение: Частное \(\frac{10^{800} - 1}{9} \div \frac{10^{100} - 1}{3} = \frac{10^{800} - 1}{3} \cdot \frac{1}{10^{100} - 1}\). Количество цифр определяется как \(800 - 100 + 1 = 701\). Ответ: 701.
8. Из 10 кг молока с 4% жира сделали 1 кг сливок с 22% жира. Сколько % жира осталось в молоке?
   Решение: Изначальный жир: \(10 \cdot 0.04 = 0.4\) кг. В сливках: \(1 \cdot 0.22 = 0.22\) кг. Остаток жира: \(0.4 - 0.22 = 0.18\) кг. Масса оставшегося молока: \(9\) кг. Концентрация: \(\frac{0.18}{9} \cdot 100% = 2\%\). Ответ: 2%.
9. Продолжите определение: «Контрольная называется несложной, если...»
   Ответ: «… существует задача, которую решили все».
10. Разложите \(64^8 - 9^{11}\) на два натуральных множителя.
    Решение: Представим как разность квадратов: \[ 64^8 - 9^{11} = (2^{24})^2 - (3^{11})^2 = (2^{24} - 3^{11})(2^{24} + 3^{11}). \] Ответ: \((2^{24} - 3^{11})\) и \((2^{24} + 3^{11})\).
11. Какие значения не может принимать \(y = \frac{4x+7}{2x-5}\)?
    Решение: Выразим \(x\) через \(y\): \[ y(2x -5) = 4x +7 \implies x = \frac{5y +7}{2y -4}. \] Знаменатель не может быть нулём: \(2y -4 \neq 0 \implies y \neq 2\). Ответ: \(y \neq 2\).
12. В треугольнике \(ABC\) с \(\angle A = 100^\circ\) серединные перпендикуляры к \(AB\) и \(AC\) пересекают \(BC\) в \(M\) и \(N\). Найдите \(\angle MAN\).
    Решение: Точки \(M\) и \(N\) обладают свойствами \(MA = MB\) и \(NA = NC\). Из равнобедренных треугольников \(MAB\) и \(NAC\) следует: \[ \angle BAM = \angle ABM, \quad \angle NAC = \angle ACN. \] Сумма углов треугольника \(ABC\): \[ \angle B + \angle C = 80^\circ. \] Искомый угол: \[ \angle MAN = 100^\circ - (\angle BAM + \angle NAC) = 100^\circ - (\frac{180^\circ - \angle B}{2} + \frac{180^\circ - \angle C}{2}) = 20^\circ. \] Ответ: \(20^\circ\).