Лицей «Вторая школа» из 8 в 9 класс 2000 год вариант 2
Печать
youit.school ©
- Решите уравнение: \[ \frac{3}{x^2} \;+\; \frac{4}{x^2 - 2x} \;=\; \frac{8}{x^2 - 4}. \]
- Решите уравнение: \[ (x + 6)^4 = 625\,x^2. \]
- Вычислите: \[ \frac{(72\cdot24)^4 \;\cdot\; (54\cdot4)^5 \;\cdot\; 6^3} {(36\cdot16)^3 \;\cdot\; (6^3\cdot18)^6}. \]
- Из 10 кг молока, содержащего 4% жира, отделили 1 кг сливок, содержащих 22% жира. Какой процент жира остался в молоке после удаления сливок?
- Разложите на множители: \[ n^4 \;-\; 4n^3 \;+\; 8n \;-\; 4. \]
- Найдите наименьшее значение выражения: \[ x^2 \;-\; 6xy \;+\; 10y^2 \;-\; 4y \;+\; 24. \]
- Прямая проходит через точки $(0{,}4;\,-0{,}4)$ и $(0{,}7;\,0{,}8)$. Найдите точки её пересечения с осями координат.
- Петя раскладывает свою коллекцию из 500 марок по двум одинаковым альбомам. В первом альбоме он уже разместил по 21 марке на лист. Если оставшиеся марки размещать во втором альбоме по 20 марок на лист, ему не хватит альбома, а если их раскладывать по 23 марки на лист, по крайней мере один лист останется пустым. Сколько листов в альбоме?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\frac{3}{x^2} \;+\; \frac{4}{x^2 - 2x} \;=\; \frac{8}{x^2 - 4}.
\]
Решение:
Область определения: \(x \neq 0, 2, -2\)
Приведем к общему знаменателю \(x^2(x-2)(x+2)\):
\(3(x^2-4)(x-2) + 4x^2(x+2) = 8x^3\)
Раскроем скобки:
\(3(x^3-2x^2-4x+8) + 4x^3 + 8x^2 = 8x^3\)
\(3x^3-6x^2-12x+24+4x^3+8x^2 = 8x^3\)
Соберем подобные члены:
\((3x^3+4x^3) + (-6x^2+8x^2) + (-12x) + 24 = 8x^3\)
\(7x^3 + 2x^2 - 12x + 24 = 8x^3\)
Перенесем все влево:
\(-x^3 + 2x^2 - 12x + 24 = 0\)
Решим уравнение:
\(x = 2\) (проверка показывает, что корень не входит в ОДЗ)
Разложим на множители:
\(-(x-2)(x^2 + 6) = 0\)
Действительных корней нет.
Ответ: нет действительных решений.
- Решите уравнение:
\[
(x + 6)^4 = 625\,x^2.
\]
Решение:
Перенесем все влево:
\((x+6)^4 - 625x^2 = 0\)
Разложим как разность квадратов:
\([(x+6)^2 - 25x][(x+6)^2 + 25x] = 0\)
Первый множитель:
\(x^2 + 12x + 36 - 25x = x^2 - 13x + 36 = 0\)
Корни: \(x = 4\), \(x = 9\)
Второй множитель:
\(x^2 + 12x + 36 + 25x = x^2 + 37x + 36 = 0\)
Корни: \(x = -1\), \(x = -36\)
Ответ: \(-36\); \(-1\); \(4\); \(9\).
- Вычислите:
\[
\frac{(72\cdot24)^4 \;\cdot\; (54\cdot4)^5 \;\cdot\; 6^3}
{(36\cdot16)^3 \;\cdot\; (6^3\cdot18)^6}.
\]
Решение:
Представим числа в виде степеней простых множителей:
\(72 = 2^3\cdot3^2\), \(24 = 2^3\cdot3\), \(54 = 2\cdot3^3\), \(6 = 2\cdot3\)
Упростим выражение:
\(\frac{(2^6\cdot3^3)^4 \cdot (2^3\cdot3^{15})^5 \cdot (2^3\cdot3^3)}{(2^8\cdot3^2)^3 \cdot (2^{18}\cdot3^{24})}\)
Рассчитаем показатели степеней:
\(2^{6·4 + 3·5 + 3} = 2^{24+15+3} = 2^{42}\), \(3^{3·4 +15·5 +3} = 3^{12+75+3} = 3^{90}\)
Знаменатель:
\(2^{8·3 +18} = 2^{42}\), \(3^{2·3 +24}=3^{30}\)
Итоговое соотношение:
\(\frac{2^{42}\cdot3^{90}}{2^{42}\cdot3^{30}} = 3^{60}\)
Ответ: \(3^{60}\).
- После удаления сливок осталось 9 кг молока. Исходный жир: \(10 \cdot 0.04 = 0.4\) кг. Жир в сливках: \(1 \cdot 0.22 = 0.22\) кг. Остаток жира: \(0.4 - 0.22 = 0.18\) кг. Процент жира: \(\frac{0.18}{9} \cdot 100% = 2\%\)
Ответ: 2%.
- Разложите на множители:
\[
n^4 \;-\; 4n^3 \;+\; 8n \;-\; 4.
\]
Решение:
Группируем члены:
\(n^4 - 4n^3 + 8n - 4 = (n^4 - 4n^3) + (8n - 4)\)
Выносим общие множители:
\(n^3(n - 4) + 4(2n - 1)\)
Методом подбора корней находим:
\((n^2 - 2n + 2)(n^2 - 2n - 2)\)
Ответ: \((n^2 - 2n + 2)(n^2 - 2n - 2)\).
- Минимизируем выражение:
\[
x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 24.
\]
Решение:
Выделим полные квадраты:
\(x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2 - 4y + 4 + 20\)
\((x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 20\)
Минимальное значение достигается при \(y = 2\), \(x = 6\)
Ответ: 20.
- Найдем уравнение прямой:
Угловой коэффициент: \(k = \frac{0.8 - (-0.4)}{0.7 - 0.4} = 4\)
Уравнение: \(y + 0.4 = 4(x - 0.4)\)
Пересечение с осью Y (\(x=0\)): \(-6.8\)
Пересечение с осью X (\(y=0\)): \(0.5\)
Ответ: \((0.5; 0)\), \((0; -6.8)\).
- Пусть \(N\) - количество листов в альбоме. В первом альбоме занято \(N\) листов, осталось \(500 - 21N\). Условия:
- \(500 - 21N > 20(N-1)\)
- \(500 - 21N \leq 23(N-2)\)
Материалы школы Юайти