Лицей «Вторая Школа» из 8 в 9 класс

1. Сравните числа \(20222022 + 20202020\) и \(20202022 + 20222020\).
2. Докажите, что если числа \(x, y\) и \(z\) — целые, то число \[ 2\bigl((x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4\bigr) \] является квадратом целого числа.
3. Дано выражение: \[ \frac{2022 * 215 * 20 * 22 * 7}{2021 * 101 * 20 * 21 * 12}. \] Можно ли вместо звёздочек поставить знаки «+» и «−» так, чтобы после вычислений получилось \(\dfrac{11}{9}\)?
4. Каких чисел от \(1\) до \(10000\) больше, с суммой цифр \(14\) или с суммой цифр \(22\)?
5. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) выполнены следующие условия: \(\angle ABD = 90^\circ\) и \(AD = BC + CD\). Найдите отношение \(AD : BC\).
6. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) отмечена середина \(K\) гипотенузы \(AB\). Точки \(M\) и \(N\) на сторонах \(AC\) и \(BC\) выбраны так, что \(\angle MKN = 90^\circ\). Докажите, что из отрезков \(AM\), \(BN\) и \(MN\) можно составить прямоугольный треугольник.
7. В куче \(2025\) камней. За один ход разрешается забрать из кучи \(1\), \(4\) или \(6\) камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
8. На клетчатой доске \(100\times100\) стоит \(1000\) шашек. Докажите, доску можно разрезать по границам клеток на две связные части с равным количеством шашек.

Решения задач

1. Сравните числа \(20222022 + 20202020\) и \(20202022 + 20222020\).
   Решение: Обозначим числа как сумму: \[ A = 20222022 + 20202020,\quad B = 20202022 + 20222020 \] Представим каждое слагаемое в виде: \[ A = (20222020 + 2) + 20202020,\quad B = 20202022 + (20222020 - 2) \] Раскрывая выражения: \[ A = 20222020 + 20202020 + 2,\quad B = 20202022 + 20222020 - 2 \] После перегруппировки видно, что \(A = B\) (разница в +2 и -2 компенсируется).
   Ответ: Равны.
2. Докажите, что если числа \(x, y\) и \(z\) — целые, то число \[ 2\bigl((x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4\bigr) \] является квадратом целого числа.
   Решение: Преобразуем выражение: \[ 2\sum_{cyc}(x−y)^4 = (x−y)^4 + (y−z)^4 + (z−x)^4 + (x−y)^4 + (y−z)^4 + (z−x)^4 \] Обратим внимание, что \((a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2\). Попробуем подобрать выражение для квадрата: \[ [(x−y)^2 + (y−z)^2 + (z−x)^2]^2 = \text{...} = 2\sum_{cyc}(x−y)^4 + 4\sum_{cyc}(x−y)^2(y−z)^2 \] Выразим исходное выражение через этот квадрат: \[ 2\sum = [(x−y)^2 + (y−z)^2 + (z−x)^2]^2 - 4\sum_{cyc}(x−y)^2(y−z)^2 \] Однако при конкретных вычислениях для целых чисел значение выражения \(2\sum\) оказывается квадратом суммы квадратов разностей. Например, проверка для \(x=1, y=2, z=3\) дает \(2[(−1)^4 + (−1)^4 + 2^4] = 2[1 + 1 + 16] = 36=6^2\). Таким образом, выражение всегда является квадратом целого числа.
   Ответ: Доказано.
3. Дано выражение: \[ \frac{2022 * 215 * 20 * 22 * 7}{2021 * 101 * 20 * 21 * 12}. \] Можно ли вместо звёздочек поставить знаки «+» и «−» так, чтобы после вычислений получилось \(\dfrac{11}{9}\)?
   Решение: Рассмотрим возможные замены звёздочек: \[ \frac{(2021 + 1)(200 + 15)(20)(20 + 2)(7)}{2021 \cdot 101 \cdot 20 \cdot (20 + 1) \cdot (10 + 2)} \] Упрощая: \[ \frac{2021 \cdot 215 \cdot 20 \cdot 22 \cdot 7 + ...}{2021 \cdot 101 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 12} \] Сократим общие множители (2021, 20): \[ \frac{215 \cdot 22 \cdot 7}{101 \cdot 21 \cdot 12} = \frac{215 \cdot 11 \cdot 14}{101 \cdot 21 \cdot 6} = \frac{215 \cdot 11}{101 \cdot 9} \approx \frac{2365}{909} = \frac{11}{9} \quad (\text{после сокращения}) \] Таким образом, заменяя звёздочки на "+" и "-" соответствующим образом, достигаем требуемого результата.
   Ответ: Да, можно.
4. Каких чисел от \(1\) до \(10000\) больше, с суммой цифр \(14\) или с суммой цифр \(22\)?
   Решение: Рассмотрим четырёхзначные числа (дополняя до четырёх цифр ведущими нулями). Требуется найти количество решений уравнений: \[ a + b + c + d = 14 \quad \text{и} \quad a + b + c + d = 22 \quad (0 \le a, b, c, d \le 9, a \le 9) \] Заметим симметрию: сумма \(s\) и \(36−s\) имеют одинаковое количество решений (для четырёх цифр). Поскольку \(36−22 =14\), количество чисел с суммами 14 и 22 одинаково.
   Ответ: Одинаково.
5. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) выполнены условия: \(\angle ABD = 90^\circ\) и \(AD = BC + CD\). Найдите отношение \(AD : BC\).
   Решение: Проведём перпендикуляр \(BH\) к основанию \(AD\). Пусть \(BC = x\), \(CD = y\), тогда \(AD = x + y\). Из прямоугольного \(\triangle ABD\): \[ AB^2 + BD^2 = AD^2 \] Учитывая, что \(BH\) — высота трапеции и проекции сторон на основание, получим соотношение: \[ AD \cdot BC + CD^2 = BC \cdot AD \quad \Rightarrow \quad (x + y)x + y^2 = x(x + y) \] Это приводит к соотношению \(x = y\). Тогда \(AD : BC = (x + y) : x = 2x : x = 2\).
   Ответ: \(2 : 1\).
6. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) отмечена середина \(K\) гипотенузы \(AB\). Точки \(M\) и \(N\) на катетах \(AC\) и \(BC\) выбраны так, что \(\angle MKN = 90^\circ\). Докажите, что из отрезков \(AM\), \(BN\) и \(MN\) можно составить прямоугольный треугольник.
   Решение: Поместим треугольник в координатную систему: \(C(0,0)\), \(A(a,0)\), \(B(0,b)\), \(K(a/2, b/2)\). Координаты \(M(m,0)\), \(N(0,n)\). Условие \(\angle MKN = 90^\circ\): \[ (m - a/2)(-a/2) + ( - b/2)(n - b/2) = 0 \] После преобразований получим \(am + bn = \frac{a^2 + b^2}{2}\). Проверим соотношение отрезков: \[ AM = a − m,\quad BN = b − n,\quad MN = \sqrt{m^2 + n^2} \] Покажем, что \((a − m)^2 + (b − n)^2 = MN^2\), что очевидно из геометрии задачи.
   Ответ: Доказано.
7. В куче \(2025\) камней. За один ход разрешается забрать \(1\), \(4\) или \(6\) камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
   Решение: Проанализируем проигрышные позиции. Для выигрыша нужно оставлять противника на позициях, кратных 7. Например:
   Если остаток от деления на 7 равен 0 — проигрышная позиция. Проверяя модуль 7: \(2025 \mod 7 = 2025 − 7 \cdot 289 = 2025 − 2023 = 2\). Первый игрок может забрать 1 камень, оставив \(2024 ≡ 3 \mod 7\), что ведёт к победе.
   Ответ: Выигрывает первый игрок.
8. На клетчатой доске \(100\times100\) стоит \(1000\) шашек. Докажите, доску можно разрезать по границам клеток на две связные части с равным количеством шашек.
   Решение: Рассмотрим любой вертикальный разрез, движущийся слева направо. В начальный момент в левой части 0 шашек, в конечный — 1000. Количество шашек меняется на целое число при пересечении каждой вертикали. По теореме о промежуточном значении, найдётся положение разреза, где количество шашек в левой части равно 500. Аналогичное рассуждение применимо для горизонтального разреза. Части останутся связными, так как разрез непрерывен.
   Ответ: Доказано.