Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2024 год
30.03.2024
- Дробь. Вычислите:
\[
\frac{(3^{21} + 3^{19}) \cdot 2^{12}}{(3^{20} - 3^{18}) \cdot 1024}
\]
- Выражение. Разложите на множители выражение:
\[
12x - 4y - 9x^2 + 6xy - y^2
\]
- Уравнение 1. Решите уравнение:
\[
\frac{3 - 4x}{22} = \frac{5x - 2}{4} = \frac{2 - 4.25x - 8}{11}
\]
- Уравнение 2. Решите уравнение:
\[
(3 - x)(x + 5) = x^2 - 6x + 9
\]
- Минимум. Найдите, при каком значении $x$ выражение
\[
x^2 - 6x + 14
\]
принимает минимальное значение?
- Сплав. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 15% меди, второй — 20% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получают третий сплав с содержанием меди 18\%. Найдите массу третьего сплава.
- Прямая. Прямая проходит через точки $A(-1; 1)$ и $B(3; 3)$. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $C(-2; 4)$ и параллельной прямой $AB$.
- Множители. Разложите на два множителя:
\[
x^4 + 2x^2 + x^2 - 9x - 27
\]
- Гипотенуза. $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$ и $\angle AB = 30^\circ$. $M$ — точка на гипотенузе $AB$, являющаяся серединой $AC$. Найдите гипотенузу $AB$, если известно, что $HM = 5$.
% ← вставьте путь к изображению
- Угол. Биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ разделила угол пополам, пересекла его сторону $AC$ в точке $D$, и образовала угол $C = 40^\circ$. Угол $A$ равен $20^\circ$. Найдите угол $C$.
% ← вставьте при необходимости рисунок
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Дробь. Вычислите:
\[
\frac{(3^{21} + 3^{19}) \cdot 2^{12}}{(3^{20} - 3^{18}) \cdot 1024}
\]
Решение:
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
\[
\frac{3^{19}(3^2 + 1) \cdot 2^{12}}{3^{18}(3^2 - 1) \cdot 2^{10}} = \frac{3 \cdot 10 \cdot 2^2}{8} = \frac{120}{8} = 15
\]
Ответ: 15.
- Выражение. Разложите на множители выражение:
\[
12x - 4y - 9x^2 + 6xy - y^2
\]
Решение:
Сгруппируем слагаемые:
\[
(12x - 4y) - (9x^2 - 6xy + y^2) = 4(3x - y) - (3x - y)^2 = (3x - y)(4 - (3x - y)) = (3x - y)(4 - 3x + y)
\]
Ответ: $(3x - y)(4 - 3x + y)$.
- Уравнение 1. Решите уравнение:
\[
\frac{3 - 4x}{22} = \frac{5x - 2}{4} = \frac{2 - 4.25x - 8}{11}
\]
Решение:
Уравнение содержит опечатку. Предположим, что требуется решить систему:
\[
\begin{cases}
\frac{3 - 4x}{22} = \frac{5x - 2}{4} \\
\frac{5x - 2}{4} = \frac{-6 - 4.25x}{11}
\end{cases}
\]
Решая первое уравнение:
\[
2(3 - 4x) = 11(5x - 2) \implies 6 - 8x = 55x - 22 \implies 63x = 28 \implies x = \frac{4}{9}
\]
Подстановка $x = \frac{4}{9}$ во второе уравнение приводит к противоречию. Условие некорректно.
- Уравнение 2. Решите уравнение:
\[
(3 - x)(x + 5) = x^2 - 6x + 9
\]
Решение:
Раскроем скобки и упростим:
\[
-x^2 - 2x + 15 = x^2 - 6x + 9 \implies 2x^2 - 4x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0
\]
Корни:
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = 3 \text{ или } -1
\]
Ответ: $x = 3$, $x = -1$.
- Минимум. Найдите, при каком значении $x$ выражение
\[
x^2 - 6x + 14
\]
принимает минимальное значение?
Решение:
Вершина параболы:
\[
x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3
\]
Ответ: 3.
- Сплав. Пусть масса первого сплава $x$ кг. Тогда:
\[
0.15x + 0.2(x + 7) = 0.18(2x + 7) \implies 0.35x + 1.4 = 0.36x + 1.26 \implies x = 14
\]
Масса третьего сплава:
\[
2x + 7 = 35 \text{ кг}
\]
Ответ: 35 кг.
- Прямая. Угловой коэффициент прямой $AB$:
\[
k = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}
\]
Уравнение прямой через $C(-2; 4)$:
\[
y - 4 = \frac{1}{2}(x + 2) \implies y = \frac{1}{2}x + 5
\]
Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 5$.
- Множители. Разложите на два множителя:
\[
x^4 + 2x^3 + x^2 - 9x - 27
\]
Решение:
Подбором:
\[
(x^2 + 3x + 9)(x^2 - x - 3)
\]
Ответ: $(x^2 + 3x + 9)(x^2 - x - 3)$.
- Гипотенуза. В прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$:
\[
AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 10 = 20
\]
Ответ: 20.
- Угол. Угол $B = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ$. Биссектриса делит угол $B$ пополам: \[ \angle ABD = 60^\circ \implies \angle BDC = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ \] Ответ: $80^\circ$ (предположительно).
Материалы школы Юайти