8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2023
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2023 год




  1. Скорость. Из начальной точки круговой трассы длиной 50 км выехал велосипедист. Через 50 минут он ещё не вернулся на старт, и следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста.
  2. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое из чисел: 36, 42, 54.
  3. Роботы. 18 роботов собирают 90 компьютеров за 3 дня. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 2 дня 50 компьютеров?
  4. Действия. Дано: \( ab^2 = c - 3a \). Выразите \( a \) через \( b \) и \( c \).
  5. Сушка. Яблоки при сушке теряют 60% своей массы. Сколько нужно взять яблок, чтобы после сушки получилось 12 кг сушёных яблок?
  6. Множители. Разложите на два множителя: \( a^4 - 14a^2 + 1 \)
  7. Делитель. На какое число поделили 700, если в частном получилось 19, а в остатке 16?
  8. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: \( -x^2 - 8x + 11 \)
  9. Орехи. Три белки делили орехи. Сначала первая раздала половину своих орехов двум другим поровну. Потом вторая, а затем и третья белка поступили так же. В итоге у них стало 26, 23 и 10 орехов соответственно. А сколько было изначально?
  10. Уголком. Число 11\ldots1 (две сотни единиц) поделили на число 11\ldots1 (десять единиц). Сколько цифр получилось в частном?
  11. Квадраты. Прямоугольник размерами \( 80 \times 56 \) разрезали на одинаковые квадраты без остатка. Квадраты получились самого большого возможного размера. Сколько получилось квадратов?
  12. Уравнение 1. Решите уравнение: \( 5 = \frac{2(2 - x)}{6} + x \)
  13. Уравнение 2. Решите уравнение: \( (x - 5)(x - 4) = (5 - x)(x - 2)^2 \)
  14. Сокращение. Сократите дробь: \( \frac{(4z + 2)^3}{(18z^3)(98z^7)} \)
  15. Прямая. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (2;1) и параллельной прямой \( y = 2x + 3 \)
  16. Угол. В треугольнике \( ABC \) угол \( A = 30^\circ \), угол \( B = 86^\circ \), \( CD \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( C \), причём точка \( D \) лежит на прямой \( AB \). Продолжение стороны \( AC \) за точку \( C \) выбрано так, что \( CE = CB \). Найдите угол \( BDE \). Ответ дайте в градусах.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Скорость.
    Решение: Пусть скорость велосипедиста \( v \) км/ч, мотоциклиста \( u \) км/ч. Первая встреча произошла через 5 минут после старта мотоциклиста:
    \( u \cdot \frac{5}{60} = v \cdot \left(\frac{50 + 5}{60}\right) \Rightarrow u = 11v \).
    За 30 минут между встречами мотоциклист проехал на круг больше:
    \( u \cdot \frac{30}{60} - v \cdot \frac{30}{60} = 50 \Rightarrow 10v \cdot 0,5 = 50 \Rightarrow v = 10 \).
    Тогда \( u = 11 \cdot 10 = 110 \) км/ч.
    Ответ: 110.

  2. НОК.
    Решение: Разложим числа на простые множители:
    \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \), \( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \), \( 54 = 2 \cdot 3^3 \).
    НОК = \( 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756 \).
    Ответ: 756.

  3. Роботы.
    Решение: Производительность 18 роботов: \( \frac{90}{3} = 30 \) комп./день.
    На 50 комп. за 2 дня: \( \frac{50}{2} = 25 \) комп./день.
    Количество роботов: \( \frac{25}{30/18} = 15 \).
    Ответ: 15.

  4. Действия.
    Решение: \( ab^2 + 3a = c \Rightarrow a(b^2 + 3) = c \Rightarrow a = \frac{c}{b^2 + 3} \).
    Ответ: \( a = \frac{c}{b^2 + 3} \).

  5. Сушка.
    Решение: После сушки остаётся 40% массы:
    \( 0,4x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{0,4} = 30 \) кг.
    Ответ: 30.

  6. Множители.
    Решение: \( a^4 - 14a^2 + 1 = (a^2 - 4a + 1)(a^2 + 4a + 1) \).
    Ответ: \( (a^2 - 4a + 1)(a^2 + 4a + 1) \).

  7. Делитель.
    Решение: \( 700 = 19d + 16 \Rightarrow d = \frac{684}{19} = 36 \).
    Ответ: 36.

  8. Максимум.
    Решение: Вершина параболы \( x = -\frac{b}{2a} = -4 \):
    \( -(-4)^2 - 8(-4) + 11 = 27 \).
    Ответ: 27.

  9. Орехи.
    Решение: Обратный ход:
    После третьего шага: 26, 23, 10 → Перед третьим: 21, 18, 20.
    После второго шага: 21, 18, 20 → Перед вторым: 12, 36, 11.
    После первого шага: 12, 36, 11 → Изначально: 24, 30, 5.
    Ответ: 24, 30, 5.

  10. Уголком.
    Решение: \( \frac{10^{200} - 1}{9} : \frac{10^{10} - 1}{9} = 10^{190} + 10^{180} + ... + 1 \).
    Количество цифр: 20.
    Ответ: 20.

  11. Квадраты.
    Решение: НОД(80, 56) = 8. Количество квадратов: \( \frac{80}{8} \cdot \frac{56}{8} = 70 \).
    Ответ: 70.

  12. Уравнение 1.
    Решение: \( 5 = \frac{4 - 2x}{6} + x \Rightarrow 30 = 4 - 2x + 6x \Rightarrow x = 6,5 \).
    Ответ: 6,5.

  13. Уравнение 2.
    Решение: \( (x - 5)[(x - 4) + (x - 2)^2] = 0 \Rightarrow x = 5; x = 0; x = 3 \).
    Ответ: 0; 3; 5.

  14. Сокращение.
    Решение: \( \frac{8(2z + 1)^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 z^{10}} = \frac{(2z + 1)^3}{882 z^{10}} \).
    Ответ: \( \frac{(2z + 1)^3}{882 z^{10}} \).

  15. Прямая.
    Решение: Уравнение: \( y - 1 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 3 \).
    Ответ: \( y = 2x - 3 \).

  16. Угол.
    Решение: Угол C = 64°, внешний угол 116°, биссектриса делит на 58°. CE = CB ⇒ △BCE равнобедренный. Угол BDE = 30°.
    Ответ: 30.
Материалы школы Юайти