Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. Скорость. Со старта круговой трассы длиной 30 км выехал велосипедист. Через 30 минут он ещё не вернулся на старт, и следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста.
   
   
2. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое из чисел: 36; 42; 48.
   
   
3. Роботы. 18 роботов собирают 96 компьютеров за 2 дня. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 3 дня 120 компьютеров?
   
   
4. Действия. Дано: \(2ac = b - a\). Выразите \(a\) через \(b\) и \(c\).
   
   
5. Сушка. Яблоки при сушке теряют 70% своей массы. Сколько нужно взять яблок, чтобы после сушки получилось 5 кг сушёных яблок?
   
   
6. Множители. Разложите на два множителя: \( -23a^2 + 1 \)
   
   
7. Логика. Контрольную работу назовём несложной, если каждую задачу решил не менее половины класса. Допишите определение (в общем виде): «Контрольную работу назовём сложной, если: \rule{5cm}{0.15mm}»
   
   
8. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: \( 13 - x^2 - 6x \)
   
   
9. Орехи. Три белки делили орехи. Сначала первая раздала половину своих орехов двум другим поровну. Потом вторая, а затем и третья белка поступили так же. В итоге у них стало 19, 14 и 8 орехов соответственно. Сколько было у каждой белки изначально?
   
   
10. Орешник. Белка за 6 минут приносит орех в гнездо (туда и обратно). Далеко ли находится орешник от гнезда, если известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом — 4 м/с?
    
    
11. Квадраты. Прямоугольник размерами \( 60 \times 36 \) разрезали на одинаковые квадраты без остатка. Квадраты получились самого большого возможного размера. Сколько получилось квадратов?
    
    
12. Уравнение 1. Решите уравнение: \( 5 = \frac{2 - 3x}{6} - x \)
    
    
13. Уравнение 2. Решите уравнение: \( (x - 2)(x^2 - 1) = (2 - x)(x - 1)^2 \)
    
    
14. Сокращение. Сократите дробь: \( \frac{(70x^2)^{13}}{(50x^3)^9(98x^7)} \)
    
    
15. Прямая. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) и параллельной прямой \( y = 2x + 3 \)
    
    
16. Угол. В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 20^\circ \), угол \( B \) равен \( 88^\circ \), \( CD \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( C \), причём точка \( D \) лежит на прямой \( AB \). Продолжение стороны \( AC \) за точку \( C \) выбрано так, что \( CE = CB \). Найдите угол \( BDE \). Ответ дайте в градусах.

Решения задач

1. Скорость. Пусть скорость велосипедиста \( v \) км/ч, мотоциклиста \( u \) км/ч. За 30 минут (\( 0,5 \) ч) велосипедист проехал \( 0,5v \) км. Время до первой встречи: \( \frac{0,5v}{u - v} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \) ч. От первой до второй встречи прошло \( \frac{30}{60} = 0,5 \) ч. За это время мотоциклист проехал на 30 км больше: \( 0,5(u - v) = 30 \). Решаем систему: \[ \begin{cases} 0,5v = \frac{1}{6}(u - v) \\ 0,5(u - v) = 30 \end{cases} \] Из второго уравнения: \( u - v = 60 \). Подставляем в первое: \( 0,5v = \frac{1}{6} \cdot 60 \Rightarrow v = 20 \). Тогда \( u = 80 \).
   Ответ: 80 км/ч.
   
   
2. НОК. Разложим числа на простые множители: \[ 36 = 2^2 \cdot 3^2, \quad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7, \quad 48 = 2^4 \cdot 3 \] НОК: \( 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 = 16 \cdot 9 \cdot 7 = 1008 \).
   Ответ: 1008.
   
   
3. Роботы. Производительность одного робота: \( \frac{96}{18 \cdot 2} = \frac{8}{3} \) компьютера/день. Для 120 компьютеров за 3 дня: \( \frac{120}{3 \cdot \frac{8}{3}} = 15 \) роботов.
   Ответ: 15.
   
   
4. Действия. \( 2ac = b - a \Rightarrow a(2c + 1) = b \Rightarrow a = \frac{b}{2c + 1} \).
   Ответ: \( a = \frac{b}{2c + 1} \).
   
   
5. Сушка. После сушки остаётся 30% массы: \( 0,3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{0,3} = \frac{50}{3} \approx 16,67 \) кг.
   Ответ: \( \frac{50}{3} \) кг.
   
   
6. Множители. Разность квадратов: \( -23a^2 + 1 = 1 - (\sqrt{23}a)^2 = (1 - \sqrt{23}a)(1 + \sqrt{23}a) \).
   Ответ: \( (1 - \sqrt{23}a)(1 + \sqrt{23}a) \).
   
   
7. Логика. Определение: «существует хотя бы одна задача, которую решило менее половины класса».
   Ответ: существует задача, которую решило менее половины класса.
   
   
8. Максимум. Выражение: \( 13 - x^2 - 6x = 22 - (x + 3)^2 \). Максимум при \( x = -3 \): 22.
   Ответ: 22.
   
   
9. Орехи. Решаем с конца. После третьего перераспределения: 19, 14, 8. Перед этим у третьей белки было 16, отдала 8. Второй шаг: (19, 28, 8) → (19, 14, 16). Первый шаг: (34, 14, 8). Изначально: (34, 28, 16).
   Ответ: 34, 28, 16.
   
   
10. Орешник. Пусть расстояние \( S \). Время: \( \frac{S}{4} + \frac{S}{5} = 360 \) сек. Решаем: \( \frac{9S}{20} = 360 \Rightarrow S = 800 \) м.
    Ответ: 800 м.
    
    
11. Квадраты. НОД(60, 36) = 12. Количество: \( \frac{60}{12} \times \frac{36}{12} = 5 \times 3 = 15 \).
    Ответ: 15.
    
    
12. Уравнение 1. \( 5 = \frac{2 - 3x}{6} - x \Rightarrow 30 = 2 - 3x - 6x \Rightarrow 9x = -28 \Rightarrow x = -\frac{28}{9} \).
    Ответ: \( -\frac{28}{9} \).
    
    
13. Уравнение 2. Переносим все влево: \( (x - 2)(x^2 - 1 + (x - 1)^2) = 0 \). Раскрываем: \( (x - 2)(2x^2 - 2x) = 0 \Rightarrow x = 2, 0, 1 \).
    Ответ: 0, 1, 2.
    
    
14. Сокращение. Преобразуем: \[ \frac{(70x^2)^{13}}{(50x^3)^9 \cdot 98x^7} = \frac{2^{13} \cdot 5^{13} \cdot 7^{13} \cdot x^{26}}{2^{10} \cdot 5^{18} \cdot 7^2 \cdot x^{34}} = \frac{8 \cdot 7^{11}}{5^5 \cdot x^8} \] Ответ: \( \frac{8 \cdot 7^{11}}{5^5 \cdot x^8} \).
    
    
15. Прямая. Параллельна \( y = 2x + 3 \Rightarrow k = 2 \). Уравнение: \( y - 2 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x \).
    Ответ: \( y = 2x \).
    
    
16. Угол. Угол внешний при C: \( 180^\circ - 20^\circ - 88^\circ = 72^\circ \). Биссектриса делит его на \( 36^\circ \). Треугольник CED равнобедренный (CE = CB). Угол BDE: \( 180^\circ - 88^\circ - 36^\circ = 56^\circ \).
    Ответ: 56°.